Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

На плоскости дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $A_1$ и $B_1$ — основания высот опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно. Касательные в точках $A_1$ и $B_1$, проведенные к окружности описанной около треугольника $CA_1B_1$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $AMB_1$, $BMA_1$ и $CA_1B_1$имеют общую точку.

Комментарий/решение

$\angle BAA_{1} = 90^{\circ} - \angle ABC$ с другой стороны $\angle (l_{A_{1}}, AA_{1}) = B_{1}CH = 90^{\circ}- \angle ABC$ ( $H$ - ортоцентр), аналогично и с другой касательной, откуда $M$ середина $AB$ ( $MA_{1}, MB_{1}$ как медианы в прямоугольных треугольниках).

Пусть $D$ точка пересечения окружности $CB_{1}A_{1}$ и $CM$ тогда $\angle A_{1}DC = \angle A_{1}B_{1}C = \angle ABC $ аналогично и $\angle B_{1}DC = \angle B_{1}A_{1}C = \angle BAC $ то есть $D$ есть точка пересечения всех трёх окружностей.

Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ будут касательными. Тогда $M$ лежит на описанной окружности треугольника $A_{1}B_{1}C$ (Так как углы $MB_{1}C$ и $MA_{1}C$ равны $90\circ$) .Что невозможно.