Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Жазықтықта сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын. $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $M$ нүктесінде қиылысады. $AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$\angle BAA_{1} = 90^{\circ} - \angle ABC$ с другой стороны $\angle (l_{A_{1}}, AA_{1}) = B_{1}CH = 90^{\circ}- \angle ABC$ ( $H$ - ортоцентр), аналогично и с другой касательной, откуда $M$ середина $AB$ ( $MA_{1}, MB_{1}$ как медианы в прямоугольных треугольниках).

Пусть $D$ точка пересечения окружности $CB_{1}A_{1}$ и $CM$ тогда $\angle A_{1}DC = \angle A_{1}B_{1}C = \angle ABC$ аналогично и $\angle B_{1}DC = \angle B_{1}A_{1}C = \angle BAC$ то есть $D$ есть точка пересечения всех трёх окружностей.

Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ будут касательными. Тогда $M$ лежит на описанной окружности треугольника $A_{1}B_{1}C$ (Так как углы $MB_{1}C$ и $MA_{1}C$ равны $90\circ$) .Что невозможно.