Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

O

$O$ нүктесі

A B C

$ABC$ үшбұрышына сырттай-іш сызылған,

B C

$BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі болсын.

M

$M$ нүктесі

A C

$AC$ -ның ортасы, ал

P

$P$ нүктесі

M O

$MO$ және

B C

$BC$ түзулердің қиылысу нүктесі. Егер

∠ B A C = 2 ∠ A C B

$\angle BAC=2\angle ACB$ шарты орындалатын болса, оңда

A B = B P

$AB=BP$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген нақты

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

\frac{x_{1}}{1 + {x_{1}}^{2}} + \frac{x_{2}}{1 + {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{1 + {x_{1}}^{2} + \dots + {x_{n}}^{2}} < \sqrt{n} .

$\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n.$
комментарий/решение

Есеп №3.

A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})

$A=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ бүтін сандарының тізбегі берілген.

m

$m$ арқылы

a_{j} = a_{i} + 1

${{a}_{j}}={{a}_{i}}+1$ және

a_{k} = a_{j} + 1

${{a}_{k}}={{a}_{j}}+1$ шарттарын қанағаттандыратын

(a_{i}, a_{j}, a_{k})

$\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{k}} \right)$ үштіктерінің санын белгілейік, мұндағы

1 \leq i \leq j \leq k \leq 2001

$1\le i\le j\le k\le 2001$ .

m

$m$ -ның максимал мүмкін болатын мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген

a \in A

$a\in A$ үшін осы

A

$A$ жиындағы

a

$a$ -дан өзгеше барлық сандарының көбейтіндісі

a

$a$ -ға бөлгенде 1-ге тең қалдық беретіндей 2002 бүтін саннан тұратын

A

$A$ жиыны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Жазықтықта сүйір бұрышты

A B C

$ABC$ үшбұрышы берілген.

A_{1}

${{A}_{1}}$ және

B_{1}

${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше

A

$A$ және

B

$B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын.

C A_{1} B_{1}

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

A_{1}

${{A}_{1}}$ және

B_{1}

${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

M

$M$ нүктесінде қиылысады.

A M B_{1}, B M A_{1}

$AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және

C A_{1} B_{1}

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Коэффициенттері нақты және

P (x^{2}) = P (x) P (x - 1)

$P({{x}^{2}})=P(x)P\left( x-1 \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

P (x)

$P(x)$ көпмүшеліктерін табыңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №7. Кез келген бүтін

n > m > 0

$n > m > 0$ сандары үшін

2^{n} - 1

${{2}^{n}}-1$ санын бөлетін, ал

2^{m} - 1

${{2}^{m}}-1$ санын бөлмейтін жай сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

n

$n$ шегіртке бір қатарға тұрғызылған. Кез келген мезетте олардың біреуіне оң немесе сол жақтағы көрші екі шегірткеден аттап секіруге рұқсат етіледі.

n

$n$ -ның қандай мәндерінде шегірткелер кері тәртіпте орналаса алады? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение(1)