Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$O$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай-іш сызылған,

$BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі болсын.

$M$ нүктесі

$AC$ -ның ортасы, ал

$P$ нүктесі

$MO$ және

$BC$ түзулердің қиылысу нүктесі. Егер

$\angle BAC=2\angle ACB$ шарты орындалатын болса, оңда

$AB=BP$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген нақты

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n.$
комментарий/решение

Есеп №3.

$A=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ бүтін сандарының тізбегі берілген.

$m$ арқылы

${{a}_{j}}={{a}_{i}}+1$ және

${{a}_{k}}={{a}_{j}}+1$ шарттарын қанағаттандыратын

$\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{k}} \right)$ үштіктерінің санын белгілейік, мұндағы

$1\le i\le j\le k\le 2001$ .

$m$ -ның максимал мүмкін болатын мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген

$a\in A$ үшін осы

$A$ жиындағы

$a$ -дан өзгеше барлық сандарының көбейтіндісі

$a$ -ға бөлгенде 1-ге тең қалдық беретіндей 2002 бүтін саннан тұратын

$A$ жиыны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Жазықтықта сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

${{A}_{1}}$ және

${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше

$A$ және

$B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын.

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

${{A}_{1}}$ және

${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$M$ нүктесінде қиылысады.

$AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Коэффициенттері нақты және

$P({{x}^{2}})=P(x)P\left( x-1 \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$P(x)$ көпмүшеліктерін табыңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №7. Кез келген бүтін

$n > m > 0$ сандары үшін

${{2}^{n}}-1$ санын бөлетін, ал

${{2}^{m}}-1$ санын бөлмейтін жай сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$n$ шегіртке бір қатарға тұрғызылған. Кез келген мезетте олардың біреуіне оң немесе сол жақтағы көрші екі шегірткеден аттап секіруге рұқсат етіледі.

$n$ -ның қандай мәндерінде шегірткелер кері тәртіпте орналаса алады? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение(1)