Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай-іш сызылған, $BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі болсын. $M$ нүктесі $AC$-ның ортасы, ал $P$ нүктесі $MO$ және $BC$ түзулердің қиылысу нүктесі. Егер $\angle BAC=2\angle ACB$ шарты орындалатын болса, оңда $AB=BP$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген нақты ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n. $$
комментарий/решение

Есеп №3. $A=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ бүтін сандарының тізбегі берілген. $m$ арқылы ${{a}_{j}}={{a}_{i}}+1$ және ${{a}_{k}}={{a}_{j}}+1$ шарттарын қанағаттандыратын $\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{k}} \right)$ үштіктерінің санын белгілейік, мұндағы $1\le i\le j\le k\le 2001$. $m$-ның максимал мүмкін болатын мәнін анықтаңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген $a\in A$ үшін осы $A$ жиындағы $a$-дан өзгеше барлық сандарының көбейтіндісі $a$-ға бөлгенде 1-ге тең қалдық беретіндей 2002 бүтін саннан тұратын $A$ жиыны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Жазықтықта сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын. $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $M$ нүктесінде қиылысады. $AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Коэффициенттері нақты және $P({{x}^{2}})=P(x)P\left( x-1 \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $P(x)$ көпмүшеліктерін табыңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №7. Кез келген бүтін $n > m > 0$ сандары үшін ${{2}^{n}}-1$ санын бөлетін, ал ${{2}^{m}}-1$ санын бөлмейтін жай сан табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. $n$ шегіртке бір қатарға тұрғызылған. Кез келген мезетте олардың біреуіне оң немесе сол жақтағы көрші екі шегірткеден аттап секіруге рұқсат етіледі. $n$-ның қандай мәндерінде шегірткелер кері тәртіпте орналаса алады? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение(1)