Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Доказать, что для любых неотрицательных чисел

$a$ и

$b$ справедливо неравенство

$\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt b+b\sqrt a.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Двое рабочих вышли одновременно из одного и того же дома и пошли в один и тот же завод. У первого из них шаг был на

$10\%$ короче, чем у второго, но зато он делал шагов на

$10\%$ больше, чем второй. Кто из этих рабочих раньше придет на завод. Объясните.
комментарий/решение(2)

Задача №3. В кубе со стороной 1 имеется 9 точек. Докажите, что среди них найдутся две, расстояние между которыми не более, чем

$\dfrac{\sqrt 3}{2}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из 2-х враждующих кланов, причем оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит враг,равно числу рыцарей, справа от которых сидит друг. Доказать, что общее число рыцарей делится на 4.
комментарий/решение(1)