Математикадан аудандық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез келген оң

$a$ және

$b$ сандарына келесі теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңіз:

$\dfrac{1}{2}(a+b)^2+\dfrac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt b+b\sqrt a.$
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Екі жұмыскер бір уақытта бір үйден шығып бір зауытқа барады. Біріншісінің адымы екіншісінің адымына қарағанда

$10\%$ -ға қысқа болды, бірақ ол екіншісіне қарағанда

$10\%$ -ға артық адым жасады. Осы жұмыскерледің қайсысы зауытқа бірінші болып келеді? Жауапты түсіндіріңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Ұзындығы 1-ге тең кубтың ішінде 9 нүкте бар. Бұл нүктелердің арасында арақашықтығы

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ үлкен емес екі нүкте табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келіссөз барысында домалақ үстел басында екі жаулас кланынан серілер отыр, оң жақтан отырған серілер саны сол жау отырған оң жағындағы отырған дос серілер саны тең болып шықты. Серілердің жалпы саны 4-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)