Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 10 класс

Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из 2-х враждующих кланов, причем оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит враг,равно числу рыцарей, справа от которых сидит друг. Доказать, что общее число рыцарей делится на 4.

Комментарий/решение

Обозначим общее количество рыцарей за $n$.

Так как каждый рыцарь имеет одинаковое количество врагов и друзей, то в среднем каждый рыцарь имеет $\frac{n}{2}$ врагов и $\frac{n}{2}$ друзей.

Таким образом, сумма количества врагов и друзей для всех рыцарей равна:

$$\frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n.$$

Это означает, что общее количество рыцарей должно быть кратно 4, так как иначе сумма врагов и друзей не будет целым числом.