Математикадан аудандық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Келіссөз барысында домалақ үстел басында екі жаулас кланынан серілер отыр, оң жақтан отырған серілер саны сол жау отырған оң жағындағы отырған дос серілер саны тең болып шықты. Серілердің жалпы саны 4-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Обозначим общее количество рыцарей за $n$.

Так как каждый рыцарь имеет одинаковое количество врагов и друзей, то в среднем каждый рыцарь имеет $\frac{n}{2}$ врагов и $\frac{n}{2}$ друзей.

Таким образом, сумма количества врагов и друзей для всех рыцарей равна:

$$\frac{n}{2} + \frac{n}{2} = n.$$

Это означает, что общее количество рыцарей должно быть кратно 4, так как иначе сумма врагов и друзей не будет целым числом.