Математикадан аудандық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып
Кез келген оң a және b сандарына келесі теңсіздіктің орындалатынын дәлелдеңіз: 12(a+b)2+14(a+b)≥a√b+b√a.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Преобразуем левую часть неравенства: (a+b)22+(a+b)4=a2+b2+2ab2+a+b4=2a2+2b2+4ab+a+b4=A.
Из неравенства 2a2+2b2≥4ab имеем: A=2a2+2b2+4ab+a+b4≥8ab+a+b4=4ab+a+4ab+b4=B.
Но, так как 4ab+a≥4a√b и 4ab+b≥4b√a, то имеем 4ab+a+4ab+b4≥4b√a+4a√b4=b√a+a√b. Следовательно, 12(a+b)2+14(a+b)≥a√b+b√a.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.