қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. ${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны $n$-ге бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрыш берілген. $L$, $H$ және $M$ сәйкес биссектрисалар, биіктіктер және медианалардың қиылысу нүктелері, ал $O$ сырттай сызылған $\omega $ шеңберінің центрі болсын. $X$, $Y$ және $Z$ арқылы сәйкес $AL$, $BL$ және $CL$ түзулерінің $\omega $ шеңбермен қиылысу нүктелерін белгілейік. $OL$ түзуінің бойында, $MN$ және $HL$ түзулері параллель болатындай, $N$ нүктесі таңдап алынған. $N$ нүктесі $XYZ$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Оң ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін
$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}=1$ теңдігі орындалады. ${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot \ldots \cdot {{x}_{n}}\ge {{(n-1)}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін $f({{x}^{2}}-{{y}^{2}})=(x-y)(f(x)+f(y))$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №5. ${{y}^{2}}-{{[x]}^{2}}=20,01$ және ${{x}^{2}}+{{[y]}^{2}}=2001$ тендіктерді қанағаттандыратын нақты сандардың барлық $\left( x,y \right)$ жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Қабырғалары 1-ге тең, тең қабырғалы үшбұрыштың кез келген нүктесі радиустары бірдей $r$-ге тең, алты шеңбердің біреуінің ішінде жатыр. $r\ge \dfrac{\sqrt{3}}{10}$ екенін дәлелдендер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Екі ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлері $P$ және $Q$ нүктелерінде қиылысады. $Q$ нүктемен салыстырғанда $P$ нүктеге жақын, ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлерге жүргізілген ортақ жанама осы екі шеңберді сәйкес $A$ және $B$ нүктелерінде жанайды. $P$ нүктеде ${{\omega }_{1}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $E$ нүктесінде қиылысады және $P$ нүктеде ${{\omega }_{2}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $F$ нүктесінде қиылысады. $H$ және $K$ нүктелері сәйкес $AF$ және $BE$ сәулелердің бойында орналасатын, $AH=AP$ және $BK=BP$ шарттарын қанағаттандыратын нүктелер болсын. $A,H,Q,K$ және $B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататындығын дәлелдендер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Жазықтықта $n$ нүкте орналасқан ($n\ge 4$). Кез келген екі нүктесінің арақашықтығы бүтін сан болып табылады. Әрқайсысы 3-ке бөлінетін, кем дегенде $1/6$ арақашықтық табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)