Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны

$n$ -ге бөлінетіндей шексіз көп натурал

$n$ сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрыш берілген.

$L$ ,

$H$ және

$M$ сәйкес биссектрисалар, биіктіктер және медианалардың қиылысу нүктелері, ал

$O$ сырттай сызылған

$\omega$ шеңберінің центрі болсын.

$X$ ,

$Y$ және

$Z$ арқылы сәйкес

$AL$ ,

$BL$ және

$CL$ түзулерінің

$\omega$ шеңбермен қиылысу нүктелерін белгілейік.

$OL$ түзуінің бойында,

$MN$ және

$HL$ түзулері параллель болатындай,

$N$ нүктесі таңдап алынған.

$N$ нүктесі

$XYZ$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Оң

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін

$\dfrac{1}{1+{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1+{{x}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{1+{{x}_{n}}}=1$ теңдігі орындалады.

${{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot \ldots \cdot {{x}_{n}}\ge {{(n-1)}^{n}}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін

$f({{x}^{2}}-{{y}^{2}})=(x-y)(f(x)+f(y))$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(6)

Есеп №5.

${{y}^{2}}-{{[x]}^{2}}=20,01$ және

${{x}^{2}}+{{[y]}^{2}}=2001$ тендіктерді қанағаттандыратын нақты сандардың барлық

$\left( x,y \right)$ жұптарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Қабырғалары 1-ге тең, тең қабырғалы үшбұрыштың кез келген нүктесі радиустары бірдей

$r$ -ге тең, алты шеңбердің біреуінің ішінде жатыр.

$r\ge \dfrac{\sqrt{3}}{10}$ екенін дәлелдендер.
комментарий/решение

Есеп №7. Екі

${{\omega }_{1}}$ және

${{\omega }_{2}}$ шеңберлері

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қиылысады.

$Q$ нүктемен салыстырғанда

$P$ нүктеге жақын,

${{\omega }_{1}}$ және

${{\omega }_{2}}$ шеңберлерге жүргізілген ортақ жанама осы екі шеңберді сәйкес

$A$ және

$B$ нүктелерінде жанайды.

$P$ нүктеде

${{\omega }_{1}}$ шеңберге жүргізілген жанама

${{\omega }_{2}}$ шеңбермен (

$P$ нүктеден өзгеше болатын)

$E$ нүктесінде қиылысады және

$P$ нүктеде

${{\omega }_{2}}$ шеңберге жүргізілген жанама

${{\omega }_{2}}$ шеңбермен (

$P$ нүктеден өзгеше болатын)

$F$ нүктесінде қиылысады.

$H$ және

$K$ нүктелері сәйкес

$AF$ және

$BE$ сәулелердің бойында орналасатын,

$AH=AP$ және

$BK=BP$ шарттарын қанағаттандыратын нүктелер болсын.

$A,H,Q,K$ және

$B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататындығын дәлелдендер.
комментарий/решение

Есеп №8. Жазықтықта

$n$ нүкте орналасқан (

$n\ge 4$ ). Кез келген екі нүктесінің арақашықтығы бүтін сан болып табылады. Әрқайсысы 3-ке бөлінетін, кем дегенде

$1/6$ арақашықтық табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)