Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып
Оң x1,x2,…,xn сандары үшін
11+x1+11+x2+…+11+xn=1 теңдігі орындалады. x1⋅x2⋅…⋅xn≥(n−1)n теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
11+xk=ak⇒xk=1−akak⇒n∏k=1xk=n∏k=11−akak≥(n−1)n(1)
n∑j=1aj=1⇒1−ak=a1+...+ak−1+ak+1+...+an≥(n−1)n−1√a1⋅...⋅ak−1⋅ak+1⋅...⋅an⇒
⇒n∏k=1(1−ak)≥n∏k=1(n−1)n−1√a1⋅...⋅ak−1⋅ak+1⋅...⋅an=(n−1)nn∏k=1ak⇒(1)
Из данного равенства и неравенста AM−GM получаем следующее:
xn1+xn=11+x1+11+x2+…+11+xn−1≥n−1n−1√(1+x1)(1+x2)…(1+xn−1)
Пусть ∀k=1,2,…,n
Ak=n∑i=1(11+xi)−11+xk=xk1+xk
Тогда n∏i=1Ai=x1x2…xn(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥(n−1)n(1+x1)(1+x2)…(1+xn)
Сокращая знаменатели, получаем:
x1x2…xn≥(n−1)n
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.