Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып


Оң x1,x2,,xn сандары үшін 11+x1+11+x2++11+xn=1 теңдігі орындалады. x1x2xn(n1)n теңсіздігін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 9 месяца назад #

  1
5 года 9 месяца назад #

11+xk=akxk=1akaknk=1xk=nk=11akak(n1)n(1)

nj=1aj=11ak=a1+...+ak1+ak+1+...+an(n1)n1a1...ak1ak+1...an

nk=1(1ak)nk=1(n1)n1a1...ak1ak+1...an=(n1)nnk=1ak(1)

  1
5 года 9 месяца назад #

Из данного равенства и неравенста AMGM получаем следующее:

xn1+xn=11+x1+11+x2++11+xn1n1n1(1+x1)(1+x2)(1+xn1)

Пусть k=1,2,,n

Ak=ni=1(11+xi)11+xk=xk1+xk

Тогда ni=1Ai=x1x2xn(1+x1)(1+x2)(1+xn)(n1)n(1+x1)(1+x2)(1+xn)

Сокращая знаменатели, получаем:

x1x2xn(n1)n