Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Для положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $(n\geq 1)$ выполняется следующее равенство $\frac{1}{{1 + x_1 }} +\frac{1}{{1 + x_2 }} + \ldots + \frac{1}{{1 + x_n }} = 1.$ Докажите, что $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n\geq (n-1)^n.$

Комментарий/решение

$$\frac{1}{1+x_k}=a_k\Rightarrow x_k=\frac{1-a_k}{a_k}\Rightarrow \prod_{k=1}^nx_k=\prod_{k=1}^n\frac{1-a_k}{a_k} \geq (n-1)^n \qquad (1)$$

$$\sum_{j=1}^na_j=1 \Rightarrow 1-a_k=a_1+...+a_{k-1}+a_{k+1}+...+a_n \geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_1\cdot ...\cdot a_{k-1}\cdot a_{k+1}\cdot...\cdot a_n }\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \prod_{k=1}^n (1-a_k) \geq \prod_{k=1}^n (n-1)\sqrt[n-1]{a_1\cdot ...\cdot a_{k-1}\cdot a_{k+1}\cdot...\cdot a_n }=(n-1)^n \prod_{k=1}^n a_k\Rightarrow (1)$$

Из данного равенства и неравенста $AM-GM$ получаем следующее:

$$\frac{x_{n}}{1+x_{n}} = \frac{1}{1+x_{1}} + \frac{1}{1+x_{2}} +\ldots + \frac{1}{1+x_{n-1}} \geq \frac{n-1}{\sqrt[n-1]{(1+x_{1})(1+x_{2})\ldots(1+x_{n-1})}}$$

Пусть $\forall k=1,2,\ldots,n$

$$A_{k} = \sum \limits_{i=1}^{n}({ \frac{1}{1+x_{i}}}) - \frac{1}{1+x_{k}} = \frac{x_{k}}{1+x_{k}}$$

Тогда $$\prod \limits_{i=1}^{n}{A{i}} = \frac{x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}{(1+x_{1})(1+x_{2})\ldots(1+x_{n})} \geq \frac{(n-1)^{n}}{(1+x_{1})(1+x_{2})\ldots(1+x_{n})}$$

Сокращая знаменатели, получаем:

$$x_{1}x_{2}\ldots x_{n} \geq (n-1)^{n}$$