Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Задача №1.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $2^n+3^n$ делится на $n$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. В остроугольном треугольнике $ABC$ $L$, $H$ и $M$ являются точками пересечения биссектрис, высот и медиан соответственно, а $O$ — центром описанной окружности. Обозначим через $X$, $Y$ и $Z$ точки пересечения прямых $AL$, $BL$ и $CL$ с окружностью соответственно. Пусть $N$ — точка на прямой $OL$, такая, что прямые $MN$ и $HL$ параллельны. Докажите, что $N$ является точкой пересечения медиан треугольника $XYZ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Для положительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ $(n\geq 1)$ выполняется следующее равенство $\frac{1}{{1 + x_1 }} +\frac{1}{{1 + x_2 }} + \ldots + \frac{1}{{1 + x_n }} = 1.$ Докажите, что $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n\geq (n-1)^n.$
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$ для любых $x, y\in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(6)

---

Задача №5. Найдите всевозможные пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих равенствам $y^2-[x]^2=2001$ и $x^2+[y]^2=2001$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6. Каждая внутренняя точка равностороннего треугольника, стороны которого равны 1, лежит в одной из шести окружностей одинакового радиуса $r$. Доказать, что $r\geq \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}$.
комментарий/решение

---

Задача №7. Две окружности $w_1$ и $w_2$ пересекаются в двух точках $P$ и $Q$. Общая касательная к $w_1$ и $w_2$, располагающаяся ближе к точке $P$, чем к $Q$, касается этих окружностей в точках $A$ и $B$ соответственно. Касательная к $w_1$ в точке $P$ пересекает $w_2$ в точке $E$ (отличной от $P$), и касательная к $w_2$ в точке $Р$ пересекает $w_1$ в точке $F$ (отличной от $P$). Пусть $H$ и $K$ — точки на лучах $AF$ и $BE$ соответственно, такие, что $AH=AP$ и $BK=BP$. Докажите, что точки $A$, $H$, $Q$, $K$ и $B$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

---

Задача №8. На плоскости имеется $n\geq4$ точек, расстояние между любыми двумя из которых есть целое число. Докажите, что найдется не менее $\frac{1}{6}$ расстояний, каждое из которых делится на 3.
комментарий/решение(3)

---