Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Две окружности $w_1$ и $w_2$ пересекаются в двух точках $P$ и $Q$. Общая касательная к $w_1$ и $w_2$, располагающаяся ближе к точке $P$, чем к $Q$, касается этих окружностей в точках $A$ и $B$ соответственно. Касательная к $w_1$ в точке $P$ пересекает $w_2$ в точке $E$ (отличной от $P$), и касательная к $w_2$ в точке $Р$ пересекает $w_1$ в точке $F$ (отличной от $P$). Пусть $H$ и $K$ — точки на лучах $AF$ и $BE$ соответственно, такие, что $AH=AP$ и $BK=BP$. Докажите, что точки $A$, $H$, $Q$, $K$ и $B$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Из того что $FP, EP$ - касательные, тогда $\angle O_1PF = \angle O_2PE$ или $\angle FAP = \angle EBP=\angle FPE$ из того что $AB$ общая касательная в треугольнике $APB$ получаем соотношение $2(\angle PAB + \angle PBA) + \angle FPE = 2(\angle PAB + \angle PBA) + \angle FAP= 180^{\circ}$ учитывая $AH = AP, \ BK = BP$ вытекает то что $P,B,H$ и $A,P,K$ лежат на одной прямой, тогда $\angle AHP = \angle BKP = 90^{\circ} - \dfrac{\angle FAP}{2}$ или $HABK$ вписанный, но так как $\angle AQB = \angle PAB + \angle PBA = 90 - \dfrac{\angle FAP}{2}$ тогда $AHQKB$ вписанный