Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

Екі ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлері $P$ және $Q$ нүктелерінде қиылысады. $Q$ нүктемен салыстырғанда $P$ нүктеге жақын, ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлерге жүргізілген ортақ жанама осы екі шеңберді сәйкес $A$ және $B$ нүктелерінде жанайды. $P$ нүктеде ${{\omega }_{1}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $E$ нүктесінде қиылысады және $P$ нүктеде ${{\omega }_{2}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $F$ нүктесінде қиылысады. $H$ және $K$ нүктелері сәйкес $AF$ және $BE$ сәулелердің бойында орналасатын, $AH=AP$ және $BK=BP$ шарттарын қанағаттандыратын нүктелер болсын. $A,H,Q,K$ және $B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататындығын дәлелдендер.