Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

Екі ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлері $P$ және $Q$ нүктелерінде қиылысады. $Q$ нүктемен салыстырғанда $P$ нүктеге жақын, ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлерге жүргізілген ортақ жанама осы екі шеңберді сәйкес $A$ және $B$ нүктелерінде жанайды. $P$ нүктеде ${{\omega }_{1}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $E$ нүктесінде қиылысады және $P$ нүктеде ${{\omega }_{2}}$ шеңберге жүргізілген жанама ${{\omega }_{2}}$ шеңбермен ($P$ нүктеден өзгеше болатын) $F$ нүктесінде қиылысады. $H$ және $K$ нүктелері сәйкес $AF$ және $BE$ сәулелердің бойында орналасатын, $AH=AP$ және $BK=BP$ шарттарын қанағаттандыратын нүктелер болсын. $A,H,Q,K$ және $B$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататындығын дәлелдендер.

Комментарий/решение

Из того что $FP, EP$ - касательные, тогда $\angle O_1PF = \angle O_2PE$ или $\angle FAP = \angle EBP=\angle FPE$ из того что $AB$ общая касательная в треугольнике $APB$ получаем соотношение $2(\angle PAB + \angle PBA) + \angle FPE = 2(\angle PAB + \angle PBA) + \angle FAP= 180^{\circ}$ учитывая $AH = AP, \ BK = BP$ вытекает то что $P,B,H$ и $A,P,K$ лежат на одной прямой, тогда $\angle AHP = \angle BKP = 90^{\circ} - \dfrac{\angle FAP}{2}$ или $HABK$ вписанный, но так как $\angle AQB = \angle PAB + \angle PBA = 90 - \dfrac{\angle FAP}{2}$ тогда $AHQKB$ вписанный