Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ $L$, $H$ и $M$ являются точками пересечения биссектрис, высот и медиан соответственно, а $O$ — центром описанной окружности. Обозначим через $X$, $Y$ и $Z$ точки пересечения прямых $AL$, $BL$ и $CL$ с окружностью соответственно. Пусть $N$ — точка на прямой $OL$, такая, что прямые $MN$ и $HL$ параллельны. Докажите, что $N$ является точкой пересечения медиан треугольника $XYZ$.

Комментарий/решение

Воспользуемся таким известным свойством что $O,M,H$ лежат на одной прямой (прямая Эйлера) и $MH=2MO$. Докажем что $XL$ высота $XA,YB$ высоты $XYZ$, так как $\angle AXY + \angle XYZ = \dfrac{\angle ABC}{2} + \dfrac{\angle ACB + \angle BAC}{2} = 90^{\circ}$ то есть $L$ точка пересечения высот $XYZ$ и так как $MN || HL$ или $LN=2NO$ или $N$ аналогично точке $M$ в $ABC$ значит $N$ медиана $XYZ$.