Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрыш берілген. $L$, $H$ және $M$ сәйкес биссектрисалар, биіктіктер және медианалардың қиылысу нүктелері, ал $O$ сырттай сызылған $\omega $ шеңберінің центрі болсын. $X$, $Y$ және $Z$ арқылы сәйкес $AL$, $BL$ және $CL$ түзулерінің $\omega $ шеңбермен қиылысу нүктелерін белгілейік. $OL$ түзуінің бойында, $MN$ және $HL$ түзулері параллель болатындай, $N$ нүктесі таңдап алынған. $N$ нүктесі $XYZ$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Воспользуемся таким известным свойством что $O,M,H$ лежат на одной прямой (прямая Эйлера) и $MH=2MO$. Докажем что $XL$ высота $XA,YB$ высоты $XYZ$, так как $\angle AXY + \angle XYZ = \dfrac{\angle ABC}{2} + \dfrac{\angle ACB + \angle BAC}{2} = 90^{\circ}$ то есть $L$ точка пересечения высот $XYZ$ и так как $MN || HL $ или $LN=2NO$ или $N$ аналогично точке $M$ в $ABC$ значит $N$ медиана $XYZ$.