Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс


Найдите все функции f:RR, удовлетворяющие равенству f(x2y2)=(xy)(f(x)+f(y)) для любых x,yR.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -4
7 года 7 месяца назад #

Ответ:f(x)=ax,aR

Уравнение будет верно при любых x,y. Значит, и при x=y, Получаем f(x2x2)=(xx)(f(x)+f(x)). То есть f(0)=0. Подставим значение y=0, получим f(x2)=xf(x). Перепишем это так: f(x+...+x)=f(x)+...f(x). А это функциональное уравнение Коши, решение которого линейная функция

  1
7 года 7 месяца назад #

Во первых, f(x+...+x)=f(x)+...+f(x) не равносильно f(a+b)=f(a)+f(b)

Во вторых из уравнения Коши следует что f(x)=ax для всех рациональных x, а для действительных нужно дополнительное условие...

  1
7 года 7 месяца назад #

Можете подсказать книги, по которой можно научиться решать функциональные уравнения?

  0
7 года 7 месяца назад #

Tutu andreescu, Iurie Boreico , functional equations

пред. Правка 2   1
5 года 8 месяца назад #

Ответ:f(x)=cx (где c любая константа).

Пусть P(x;y) данное равенство. Тогда при P(0;0):

f(0)=0.

При P(x;x):

0=2x(f(x)+f(x)) или f(x)=f(x).

Тогда при P(x;y):

(x+y)(f(x)+f(y))=f(x2y2), но f(x2y2)=(xy)(f(x)+f(y)). Тогда:

(x+y)(f(x)f(y))=(xy)(f(x)+f(y)) или xf(y)=yf(x). Если зафиксировать x, оно будет равна константе(здесь y0): c=f(x)x=f(y)y, тогда f(y)=cy.

пред. Правка 2   1
3 года 10 месяца назад #