Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющие равенству $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$ для любых $x, y\in \mathbb{R} $.

Комментарий/решение

Ответ:$f(x)=ax,a\in R$

Уравнение будет верно при любых $x,y$. Значит, и при $x=y$, Получаем $$f(x^2-x^2)=(x-x)(f(x)+f(x))$$. То есть $f(0)=0$. Подставим значение $y=0$, получим $f(x^2)=xf(x)$. Перепишем это так: $$f(x+...+x) =f(x)+...f(x)$$. А это функциональное уравнение Коши, решение которого линейная функция

Во первых, f(x+...+x)=f(x)+...+f(x) не равносильно f(a+b)=f(a)+f(b)

Во вторых из уравнения Коши следует что f(x)=ax для всех рациональных x, а для действительных нужно дополнительное условие...

Можете подсказать книги, по которой можно научиться решать функциональные уравнения?

Tutu andreescu, Iurie Boreico , functional equations

$Ответ: f(x)=cx$ (где $c$ любая константа).

Пусть $P(x;y)$ данное равенство. Тогда при $P(0;0)$:

$f(0)=0.$

При $P(x;-x)$:

$0=-2x(f(-x)+f(x))$ или $f(-x)=-f(x)$.

Тогда при $P(x;-y)$:

$(x+y)(f(x)+f(-y))=f(x^2-y^2)$, но $f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$. Тогда:

$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)(f(x)+f(y))$ или $xf(y)=yf(x)$. Если зафиксировать $x$, оно будет равна константе(здесь $y\ne0$): $c=\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{f(y)}{y}$, тогда $f(y)=cy$.