Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс
Найдите все функции f:R→R, удовлетворяющие равенству f(x2−y2)=(x−y)(f(x)+f(y)) для любых x,y∈R.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:f(x)=ax,a∈R
Уравнение будет верно при любых x,y. Значит, и при x=y, Получаем f(x2−x2)=(x−x)(f(x)+f(x)). То есть f(0)=0. Подставим значение y=0, получим f(x2)=xf(x). Перепишем это так: f(x+...+x)=f(x)+...f(x). А это функциональное уравнение Коши, решение которого линейная функция
Ответ:f(x)=cx (где c любая константа).
Пусть P(x;y) данное равенство. Тогда при P(0;0):
f(0)=0.
При P(x;−x):
0=−2x(f(−x)+f(x)) или f(−x)=−f(x).
Тогда при P(x;−y):
(x+y)(f(x)+f(−y))=f(x2−y2), но f(x2−y2)=(x−y)(f(x)+f(y)). Тогда:
(x+y)(f(x)−f(y))=(x−y)(f(x)+f(y)) или xf(y)=yf(x). Если зафиксировать x, оно будет равна константе(здесь y≠0): c=f(x)x=f(y)y, тогда f(y)=cy.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.