қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия
Есеп №1. $CA=CB$ және $\angle ACB=120^{\circ}$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген; $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы. $P$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінде жатқан кез келген нүкте, ал $Q$ — $CP$ кесіндісіндегі $QP=2QC$ шартын қанағаттандыратын нүкте. $P$ нүктесінен $AB$-ға перпендикуляр жүргізілген түзу $MQ$ түзуімен $N$ нүктесінде қиылысады. $P$ таңдауынан тәуелсіз $N$ нүктесі қандай да бір тұрақты шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $A=\left\{1+\frac{1}{k}: k=1,2,3, \ldots\right\}$ жиынын қарастырайық.
(a) Кез келген $x \geq 2$ бүтін санын $A$ жиынының бір немесе бірнеше (қайталануы мүмкін) элементтерінің көбейтіндісі түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз.
(b) Әрбір $x \geq 2$ бүтін саны үшін $f(x)$ деп $x$ санын $A$ жиынының $f(x)$ элементінің (қайталануы мүмкін) көбейтіндісі ретінде көрсетуге мүмкіндік беретін ең кіші бүтін сан деп алайық.
Келесі шартты қанағаттандыратын $(x,y)$ бүтін сандар жұптары шексіз көп болатынын дәлелдеңіз: $$ f(xy) < f(x)+f(y). $$ (Жұптар $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ мен $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ әртүрлі деп есептеледі, егер $x_{1} \neq x_{2}$ немесе $y_{1} \neq y_{2}$ болса.)
комментарий/решение
(a) Кез келген $x \geq 2$ бүтін санын $A$ жиынының бір немесе бірнеше (қайталануы мүмкін) элементтерінің көбейтіндісі түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз.
(b) Әрбір $x \geq 2$ бүтін саны үшін $f(x)$ деп $x$ санын $A$ жиынының $f(x)$ элементінің (қайталануы мүмкін) көбейтіндісі ретінде көрсетуге мүмкіндік беретін ең кіші бүтін сан деп алайық.
Келесі шартты қанағаттандыратын $(x,y)$ бүтін сандар жұптары шексіз көп болатынын дәлелдеңіз: $$ f(xy) < f(x)+f(y). $$ (Жұптар $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ мен $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ әртүрлі деп есептеледі, егер $x_{1} \neq x_{2}$ немесе $y_{1} \neq y_{2}$ болса.)
комментарий/решение
Есеп №3. EGMO байқауына қатысқан $n$ қыздың әрқайсысына $C_{1}, \ldots, C_{n}$ нөмірі берілген. Олимпиададан кейін олар келесі ережелер бойынша мейрамхана алдында кезекке тұрады:
$\bullet$ Қазылар алқасы бастапқы кезекті таңдайды.
$\bullet$ Әр минут сайын қазылар алқасы $1 \leq i \leq n$ шартын қанағаттандыратын бір $i$ санын таңдайды.
— Егер $C_i$ қатысушының алдында кемінде $i$ қыз тұрса, ол қыз қазыларға бір еуро төлеп, кезекте $i$ орын алға жылжиды.
— Егер оның алдында $i$-ден аз қыз тұрса, мейрамхана ашылады да, процесс тоқтайды.
(a) Қазылар қалай әрекет етсе де, бұл процесс шексіз жалғаса алмайтынын дәлелдеңіз.
(b) Әрбір $n$ үшін қазылар ең көп дегенде неше еуро ала алатынын табыңыз.
комментарий/решение
$\bullet$ Қазылар алқасы бастапқы кезекті таңдайды.
$\bullet$ Әр минут сайын қазылар алқасы $1 \leq i \leq n$ шартын қанағаттандыратын бір $i$ санын таңдайды.
— Егер $C_i$ қатысушының алдында кемінде $i$ қыз тұрса, ол қыз қазыларға бір еуро төлеп, кезекте $i$ орын алға жылжиды.
— Егер оның алдында $i$-ден аз қыз тұрса, мейрамхана ашылады да, процесс тоқтайды.
(a) Қазылар қалай әрекет етсе де, бұл процесс шексіз жалғаса алмайтынын дәлелдеңіз.
(b) Әрбір $n$ үшін қазылар ең көп дегенде неше еуро ала алатынын табыңыз.
комментарий/решение
Есеп №4. Домино деп — өлшемі $1 \times 2$ немесе $2 \times 1$ болатын тіктөртбұрышты айтамыз. $n \geq 3$ бүтін саны үшін, $n \times n$ торлы тақтаға доминолар келесідей орналастырылады: әр домино екі ұяшықты жабады, және доминолар бір-бірімен қабаттаспайды. Жолдың немесе бағанның салмағы деп оның кемінде бір ұяшығын жабатын доминолардың санын атаймыз. Орналасу теңдестірілген деп аталады, егер барлық жолдар мен барлық бағандардың салмағы $k$-ға тең болатындай $k \geq 1$ саны табылса. Әрбір $n \geq 3$ үшін теңдестірілген орналастыру бар екенін дәлелдеңіз және ол үшін қажет доминолардың ең аз санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $\Gamma$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $\Omega$ шеңбері $\Gamma$-ны іштей жанайды (жанасу нүктесі мен $C$ нүктесі $AB$-ның бір жағында жатыр), және $AB$ кесіндісін жанайды. $\angle BCA$ бұрышының биссектрисасы $\Omega$ шеңберін екі $P$ және $Q$ нүктелерінде қиып өтеді. $\angle ABP = \angle QBC$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. (a) $0 < t < \frac{1}{2}$ болатын кез келген нақты $t$ саны үшін келесі қасиетке ие оң бүтін $n$ саны бар екенін дәлелдеңіз: кез келген $n$ оң бүтін сандар жиыны үшін әртүрлі $x$ және $y$ элементтері және $m \geq 0$ болатын бүтін сан табылады әрі $$ |x - my| \leq ty$$ теңсіздігі орындалады.
(b) $0 < t < \frac{1}{2}$ болатын әр нақты сан үшін, келесі шарт орындалатын оң бүтін сандардың шексіз жиыны бар ма: $$ |x - my| > ty $$ кез келген әртүрлі $x$ және $y$ элементтері үшін және кез келген $m > 0$ бүтін саны үшін?
комментарий/решение
(b) $0 < t < \frac{1}{2}$ болатын әр нақты сан үшін, келесі шарт орындалатын оң бүтін сандардың шексіз жиыны бар ма: $$ |x - my| > ty $$ кез келген әртүрлі $x$ және $y$ элементтері үшін және кез келген $m > 0$ бүтін саны үшін?
комментарий/решение