Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

Дан треугольник $ABC$, в котором $CA=CB$ и $\angle ACB=120^{\circ}$; а точка $M$ — середина стороны $AB$. Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая на описанной окружности треугольника $ABC$, а $Q$ — точка на отрезке $CP$ такая, что $QP=2 QC$. Прямая, проходящая через точку $P$ перпендикулярно $AB$, пересекает прямую $MQ$ в точке $N$. Докажите, что существует некоторая окружность такая, что точка $N$ лежит на этой окружности вне зависимости от выбора точки $P$.

Комментарий/решение

$CM||PN$, поэтому $\frac{CQ}{QP}=\frac{CM}{PN}=\frac{1}{2}$, то есть $\vec{PN}=2\vec{MC}=const$, поэтому $N$ лежит на окружности, которая является образом $(ABC)$ при параллельном переносе на $2\vec{MC}$, где $|2\vec{MC}|=R$.

$H_O^k$ - гомотетия с центром в точке $O$ и коэффицентом $k$

Заметим что $PN \parallel CM$ , откуда $\frac{QP}{QC} = 2 = \frac{QN}{QM}$.

$H_{C}^{\frac{1}{3}} \circ H_{M}^{3}$ переводит $P \to Q \to N$ , и так как $P$ движется по окружности , то $N$ тоже движется по фиксированной окружности.