қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия
Задача №1. Дан треугольник $ABC$, в котором $CA=CB$ и $\angle ACB=120^{\circ}$; а точка $M$ — середина стороны $AB$. Пусть $P$ — произвольная точка, лежащая на описанной окружности треугольника $ABC$, а $Q$ — точка на отрезке $CP$ такая, что $QP=2 QC$. Прямая, проходящая через точку $P$ перпендикулярно $AB$, пересекает прямую $MQ$ в точке $N$. Докажите, что существует некоторая окружность такая, что точка $N$ лежит на этой окружности вне зависимости от выбора точки $P$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Рассмотрим множество $$ A=\left\{1+\frac{1}{k}: k=1,2,3, \ldots\right\}. $$ (a) Докажите, что любое целое число $x \geq 2$ может быть получено как произведение одного или нескольких не обязательно различных элементов множества $A$.
(b) Для каждого целого числа $x \geq 2$ через $f(x)$ обозначим наименьшее целое число такое, что $x$ может быть получено как произведение $f(x)$ не обязательно различных элементов множества $A$.
Докажите, что существует бесконечно много пар ($x, y$) целых чисел $x \geq 2$ и $y \geq 2$ таких, что $$ f(x y) < f(x)+f(y). $$ (Пары $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ считаются различными, если $x_{1} \neq x_{2}$ или $\left.y_{1} \neq y_{2}\right)$.
комментарий/решение
(b) Для каждого целого числа $x \geq 2$ через $f(x)$ обозначим наименьшее целое число такое, что $x$ может быть получено как произведение $f(x)$ не обязательно различных элементов множества $A$.
Докажите, что существует бесконечно много пар ($x, y$) целых чисел $x \geq 2$ и $y \geq 2$ таких, что $$ f(x y) < f(x)+f(y). $$ (Пары $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ считаются различными, если $x_{1} \neq x_{2}$ или $\left.y_{1} \neq y_{2}\right)$.
комментарий/решение
Задача №3. Каждой из $n$ участниц EGMO присвоен один из номеров $C_{1}, \ldots, C_{n}$. После олимпиады они выстраиваются в очередь перед рестораном согласно следующим правилам:
$\bullet$ Жюри выбирает начальную расстановку участниц в очереди.
$\bullet$ Каждую минуту Жюри выбирает некоторое число $i$ из промежутка $1 \leq i \leq n$.
— Если перед участницей $C_{i}$ стоят по крайней мере $i$ других участниц, она платит Жюри один евро и перемещается в очереди вперёд ровно на $i$ позиций.
— Если перед участницей $C_{i}$ стоит менее, чем $i$ других участниц, ресторан открывается и процесс заканчивается.
(a) Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго вне зависимости от действий Жюри.
(b) Для каждого $n$ найдите наибольшее количество евро, которое Жюри может получить, выбрав начальную расстановку участниц и последовательность ходов.
комментарий/решение
$\bullet$ Жюри выбирает начальную расстановку участниц в очереди.
$\bullet$ Каждую минуту Жюри выбирает некоторое число $i$ из промежутка $1 \leq i \leq n$.
— Если перед участницей $C_{i}$ стоят по крайней мере $i$ других участниц, она платит Жюри один евро и перемещается в очереди вперёд ровно на $i$ позиций.
— Если перед участницей $C_{i}$ стоит менее, чем $i$ других участниц, ресторан открывается и процесс заканчивается.
(a) Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго вне зависимости от действий Жюри.
(b) Для каждого $n$ найдите наибольшее количество евро, которое Жюри может получить, выбрав начальную расстановку участниц и последовательность ходов.
комментарий/решение
Задача №4. Доминошка — это плитка $1 \times 2$ или $2 \times 1$. Пусть $n \geq 3$ — целое число. Доминошки размещаются на доске $n \times n$ так, что каждая доминошка закрывает ровно две клетки и доминошки не накладываются друг на друга. Весом столбца или строки назовём количество доминошек, которые накрывают по крайней мере одну клетку этого столбца или этой строки. Размещение называется сбалансированным, если найдётся число $k \geq 1$ такое, что каждый столбец и каждая строка имеют вес $k$. Для каждого $n \geq 3$ докажите, что существует сбалансированное размещение, и найдите наименьшее количество доминошек, которое необходимо для его получения.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ касается отрезка $AB$ и касается окружности $\Gamma$ в точке, расположенной по ту же сторону относительно прямой $AB$, что и точка $C$. Биссектриса угла $\angle BCA$ пересекает $\Omega$ в двух различных точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle ABP=\angle QBC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. (a) Докажите, что для любого действительного числа $t$ такого, что $0 < t < \frac{1}{2}$, существует положительное целое число $n$ со следующим свойством: для любого множества $S$, состоящего из $n$ положительных целых чисел, найдутся два различных элемента $x$ и $y$ из $S$ и неотрицательное целое число $m$ (т.е. $m \geq 0$) такие, что $$ |x-m y| \leq t y. $$
(b) Верно ли, что для каждого действительного числа $t$ такого, что $0 < t < \frac{1}{2}$, существует бесконечное множество $S$, состоящее из положительных целых чисел, такое, что $$ |x-m y| > t y $$ для любой пары различных элементов $x$ и $y$ из $S$ и любого положительного целого числа $m$ (т.е. $m > 0$).
комментарий/решение
(b) Верно ли, что для каждого действительного числа $t$ такого, что $0 < t < \frac{1}{2}$, существует бесконечное множество $S$, состоящее из положительных целых чисел, такое, что $$ |x-m y| > t y $$ для любой пары различных элементов $x$ и $y$ из $S$ и любого положительного целого числа $m$ (т.е. $m > 0$).
комментарий/решение