Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

Рассмотрим множество $$ A=\left\{1+\frac{1}{k}: k=1,2,3, \ldots\right\}. $$ (a) Докажите, что любое целое число $x \geq 2$ может быть получено как произведение одного или нескольких не обязательно различных элементов множества $A$.
   (b) Для каждого целого числа $x \geq 2$ через $f(x)$ обозначим наименьшее целое число такое, что $x$ может быть получено как произведение $f(x)$ не обязательно различных элементов множества $A$.
   Докажите, что существует бесконечно много пар ($x, y$) целых чисел $x \geq 2$ и $y \geq 2$ таких, что $$ f(x y) < f(x)+f(y). $$ (Пары $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ считаются различными, если $x_{1} \neq x_{2}$ или $\left.y_{1} \neq y_{2}\right)$.