Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

$A=\left\{1+\frac{1}{k}: k=1,2,3, \ldots\right\}$ жиынын қарастырайық.
   (a) Кез келген $x \geq 2$ бүтін санын $A$ жиынының бір немесе бірнеше (қайталануы мүмкін) элементтерінің көбейтіндісі түрінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз.
   (b) Әрбір $x \geq 2$ бүтін саны үшін $f(x)$ деп $x$ санын $A$ жиынының $f(x)$ элементінің (қайталануы мүмкін) көбейтіндісі ретінде көрсетуге мүмкіндік беретін ең кіші бүтін сан деп алайық.
   Келесі шартты қанағаттандыратын $(x,y)$ бүтін сандар жұптары шексіз көп болатынын дәлелдеңіз: $$ f(xy) < f(x)+f(y). $$ (Жұптар $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ мен $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ әртүрлі деп есептеледі, егер $x_{1} \neq x_{2}$ немесе $y_{1} \neq y_{2}$ болса.)