Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ касается отрезка $AB$ и касается окружности $\Gamma$ в точке, расположенной по ту же сторону относительно прямой $AB$, что и точка $C$. Биссектриса угла $\angle BCA$ пересекает $\Omega$ в двух различных точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle ABP=\angle QBC$.

Комментарий/решение

$R$ и $F$ - точки пересечения биссектрисы угла $\angle BCA$ с $(ABC)$ и $AB$ соответственно. $\Omega$ касается $AB$ в $T$, а $(ABC)$ в $S$. По лемме Архимеда $RT\cdot RS=RB^2=RP\cdot RQ=RF\cdot RC$, поэтому $RB$ касается $(PBQ)$ и $(FBC)$, а значит $R$ - общий центр окружностей Аполлония для $\triangle PBQ$ и $\triangle FBC$ с вершиной $B$, поэтому $\angle ABP=\angle QBC$.