Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

$\Gamma$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер болсын. $\Omega$ шеңбері $\Gamma$-ны іштей жанайды (жанасу нүктесі мен $C$ нүктесі $AB$-ның бір жағында жатыр), және $AB$ кесіндісін жанайды. $\angle BCA$ бұрышының биссектрисасы $\Omega$ шеңберін екі $P$ және $Q$ нүктелерінде қиып өтеді. $\angle ABP = \angle QBC$ теңдігін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$R$ и $F$ - точки пересечения биссектрисы угла $\angle BCA$ с $(ABC)$ и $AB$ соответственно. $\Omega$ касается $AB$ в $T$, а $(ABC)$ в $S$. По лемме Архимеда $RT\cdot RS=RB^2=RP\cdot RQ=RF\cdot RC$, поэтому $RB$ касается $(PBQ)$ и $(FBC)$, а значит $R$ - общий центр окружностей Аполлония для $\triangle PBQ$ и $\triangle FBC$ с вершиной $B$, поэтому $\angle ABP=\angle QBC$.