Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

Каждой из $n$ участниц EGMO присвоен один из номеров $C_{1}, \ldots, C_{n}$. После олимпиады они выстраиваются в очередь перед рестораном согласно следующим правилам:
   $\bullet$ Жюри выбирает начальную расстановку участниц в очереди.
   $\bullet$ Каждую минуту Жюри выбирает некоторое число $i$ из промежутка $1 \leq i \leq n$.
   — Если перед участницей $C_{i}$ стоят по крайней мере $i$ других участниц, она платит Жюри один евро и перемещается в очереди вперёд ровно на $i$ позиций.
   — Если перед участницей $C_{i}$ стоит менее, чем $i$ других участниц, ресторан открывается и процесс заканчивается.
   (a) Докажите, что этот процесс не может продолжаться бесконечно долго вне зависимости от действий Жюри.
   (b) Для каждого $n$ найдите наибольшее количество евро, которое Жюри может получить, выбрав начальную расстановку участниц и последовательность ходов.