Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1. Дано натуральное число

$n$ . Докажите, что при некотором натуральном

$m$ у числа

$m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших

$n$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(4)

Задача №2. По кругу расставлены 2025 ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ быть выполнено равенство

$ab+de=bd?$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3)

Задача №3. В выпуклом пятиугольнике

$ABCDE$

$\angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ$ , а

$AB+BC+CD+DE=AD+BE$ . Чему может быть равен угол

$A$ этого пятиугольника? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В клетках таблицы

$6\times 6$ расставлены все натуральные числа от 1 до 36 (в каждой клетке стоит одно число). Назовем уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата

$2\times 2$ . Обозначим через

$m$ наименьшую сумму чисел в уголке, а через

$M$ — наибольшее из

$m$ по всем возможным расстановкам чисел в таблице. Найдите

$M$ . ( И. Рубанов )
комментарий/решение

результаты