Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1. Звезда состоит из 100 горючих шнуров

$OA_1$ ,

$\ldots$ ,

$OA_{100}$ , соединенных в единственной точке

$O$ . Время горения каждого шнура не зависит от того, с какого конца его поджигают, а скорость горения не обязана быть постоянной. Если поджечь звезду в точке

$A_1$ , она полностью сгорит за 201 секунду, если в точке

$A_2$ — за 202 секунды,

$\ldots$ , если в точке

$A_{99}$ — за 299 секунд. За какое время звезда полностью сгорит, если ее поджечь в точке

$A_{100}$ ? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(5)

Задача №2. Существует ли такое нечетное натуральное число

$n$ , что неполные частные от деления

$n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. У ювелира есть 100 золотых монет. Покупатель знает лишь, что веса этих монет равны 1, 2,

$\ldots$ , 100 г в каком-то порядке, а ювелир знает, какая сколько весит. Как ювелиру за два взвешивания на чашечных весах без гирь доказать покупателю, что известная ювелиру однограммовая монета действительно весит 1 г, но при этом не дать покупателю возможности определить вес никакой другой монеты? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

Задача №4. На плоскости отмечено

$n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него —

${n-1}$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение

$n$ ? ( М. Иванов )
комментарий/решение(1)

результаты