қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Звезда состоит из 100 горючих шнуров $OA_1$, $\ldots$, $OA_{100}$, соединенных в единственной точке $O$. Время горения каждого шнура не зависит от того, с какого конца его поджигают, а скорость горения не обязана быть постоянной. Если поджечь звезду в точке $A_1$, она полностью сгорит за 201 секунду, если в точке $A_2$ — за 202 секунды, $\ldots$, если в точке $A_{99}$ — за 299 секунд. За какое время звезда полностью сгорит, если ее поджечь в точке $A_{100}$?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Существует ли такое нечетное натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. У ювелира есть 100 золотых монет. Покупатель знает лишь, что веса этих монет равны 1, 2, $\ldots$, 100 г в каком-то порядке, а ювелир знает, какая сколько весит. Как ювелиру за два взвешивания на чашечных весах без гирь доказать покупателю, что известная ювелиру однограммовая монета действительно весит 1 г, но при этом не дать покупателю возможности определить вес никакой другой монеты?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На плоскости отмечено $n$ точек. Если провести серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему любые две отмеченные точки, то с одной стороны от него лежит одна отмеченная точка, а с другой стороны от него — ${n-1}$ отмеченная точка (на самом серединном перпендикуляре отмеченных точек нет). Каково наибольшее возможное значение $n$?
(
М. Иванов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)