Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Задача №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x) = 23(1 - \sin x)^{20} + 20(1 + \sin x)^{23}.$
комментарий/решение(12)

Задача №2. Даны простые числа

$p, q$ и

$r$ . Известно, что число

$(qr - 1)$ делится на

$p$ число

$(rp - 1)$ делится на

$q$ а число

$(pq - 1)$ делитcя на

$r$ . Найдите значение

$pqr$ .
комментарий/решение(7)

Задача №3. Дано множество

$S= \{1, 2, \ldots, 2024\}$ . Компьютер случайным образом создал

$2023^2+1$ непустых подмножеств множества

$S$ в каждом из которых по меньшей мере 2 элемента. Докажите, что среди построенных компьютером подмножеств можно найти два подмножества с равным количеством элементов, у которых по меньшей мере два элемента общих.
комментарий/решение

Задача №4. Внутри выпуклого четырёхугольника

$ABCD$ выбрана точка

$G$ — точка пересечения медиан треугольника

$ABC$ . Оказалось, что

$G \in [BD]$ ,

$\angle DCG = \angle BAC$ . Из точки

$D$ опустили перпендикуляр

$DE$ на отрезок

$CG$ . Докажите, что

$\frac{CG}{DE} \ge \frac{2\sqrt 3}{3}.$
комментарий/решение(4)