Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 23(1 - \sin x)^{20} + 20(1 + \sin x)^{23}.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2023-12-17 17:10:54.0 #

Баян

  3
2023-12-17 19:24:27.0 #

sin x может принимать значение [-1;1] тогда:

По неравесству Бернулли

$(1 - sin x)^{20} ≥ 1 - 20 sin x, (1 + sin x)^{23 }≥ 1 + 23 sin x.$

Тогда $f(x) = 23(1 - sin x)^{20} + 20(1 + sin x)^{23} ≥ 23(1 - 20 sin x) + 20(1 + 23 sin x) = 23 - 460 sin x + 20 ÷ 460 = 43$.

Значит наименьшее достигается , при х = 0.

  1
2023-12-22 10:41:09.0 #

Неравенство Берунули верно для $x > -1$, а поскольку $\sin (x)$ может достигать значения $-1$ вам надо это разобрать отдельно

Не критическая ошибка но на олимпе вы могли бы лишиться $1-2$ балла

  3
2023-12-27 21:37:35.0 #

Сигма спасибо что сказали.

пред. Правка 2   0
2023-12-31 00:44:32.0 #

Разве не

$n\in \mathbb{N};-1 \leq x\in \mathbb{R} \\ (1+x)^n \geq 1+xn $

Тут оно работает для $x=-1$

Т.к.

$0\geq 1-n \Leftrightarrow n \geq 1$

  0
2023-12-31 11:19:56.0 #

может я ошибаюсь но в википедии так:

Википедия

  0
2023-12-31 11:43:15.0 #

Странно, но в вики сказано, что "страница не проверялось опытными участниками".

Скорее всего, это опечатка в вики, т.к. оно явно работает для $x=-1$(хоть и в вики никто не заявлял, что оно не работает при $x=-1$)

  0
2023-12-31 13:15:01.0 #

ну очевидно же что работает при $x=-1$. зачем прикопались?

  0
2023-12-31 16:42:08.0 #

И вправду, не усмотрел)

В англ версии все верно

Спасибо что указали!

  1
2023-12-22 12:14:49.0 #

Сделаем замену $t=1-sin(x):$ $$23t^{20}+20(2-t)^{23}.$$

Возьмём производную от $t$ у данного многочлена: $$460(t^{19}-(2-t)^{22}).$$

При $t^{19}=(2-t)^{22}$ наш многочлен начинает менять свой ход (то есть из строго растущего в строго падающего или наоборот). По сути, $t \in \left [ 0;2 \right ]$, если $0\leq t<1$ то справа будет больше, а если $2\geq t>1$, то слева будет больше, значит $t=1$. Получается, при этом значении наша функция $f(t)=23t^{20}+20(2-t)^{23}$ меняет свой ход, так как если подставить $0,1$ который входит в интервал $t$, можно заметить что $f(0)>f(1)$, соответственно функция строго падала на интервале до $t=1$, значит после этой точки она строго росла, получается $t=1$ минимум, а $t=2$ максимум.

Подставив под $t$, находим что мин. и макс. значения это $43$ и $20 \cdot 2^{23}$ соответственно.

  1
2023-12-22 12:46:11.0 #

Возможно верно. Возможно нет.

  0
2024-01-11 23:22:04.0 #

все верно, за такое решение фулл поставили