Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Комментарий/решение:
sin x может принимать значение [-1;1] тогда:
По неравесству Бернулли
(1−sinx)20≥1−20sinx,(1+sinx)23≥1+23sinx.
Тогда f(x)=23(1−sinx)20+20(1+sinx)23≥23(1−20sinx)+20(1+23sinx)=23−460sinx+20÷460=43.
Значит наименьшее достигается , при х = 0.
Неравенство Берунули верно для x>−1, а поскольку sin(x) может достигать значения −1 вам надо это разобрать отдельно
Не критическая ошибка но на олимпе вы могли бы лишиться 1−2 балла
Разве не
n∈N;−1≤x∈R(1+x)n≥1+xn
Тут оно работает для x=−1
Т.к.
0≥1−n⇔n≥1
Странно, но в вики сказано, что "страница не проверялось опытными участниками".
Скорее всего, это опечатка в вики, т.к. оно явно работает для x=−1(хоть и в вики никто не заявлял, что оно не работает при x=−1)
И вправду, не усмотрел)
В англ версии все верно
Спасибо что указали!
Сделаем замену t=1−sin(x): 23t20+20(2−t)23.
Возьмём производную от t у данного многочлена: 460(t19−(2−t)22).
При t19=(2−t)22 наш многочлен начинает менять свой ход (то есть из строго растущего в строго падающего или наоборот). По сути, t∈[0;2], если 0≤t<1 то справа будет больше, а если 2≥t>1, то слева будет больше, значит t=1. Получается, при этом значении наша функция f(t)=23t20+20(2−t)23 меняет свой ход, так как если подставить 0,1 который входит в интервал t, можно заметить что f(0)>f(1), соответственно функция строго падала на интервале до t=1, значит после этой точки она строго росла, получается t=1 минимум, а t=2 максимум.
Подставив под t, находим что мин. и макс. значения это 43 и 20⋅223 соответственно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.