Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=23(1sinx)20+20(1+sinx)23.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 1 месяца назад #

Баян

  3
1 года 1 месяца назад #

sin x может принимать значение [-1;1] тогда:

По неравесству Бернулли

(1sinx)20120sinx,(1+sinx)231+23sinx.

Тогда f(x)=23(1sinx)20+20(1+sinx)2323(120sinx)+20(1+23sinx)=23460sinx+20÷460=43.

Значит наименьшее достигается , при х = 0.

  1
1 года 1 месяца назад #

Неравенство Берунули верно для x>1, а поскольку sin(x) может достигать значения 1 вам надо это разобрать отдельно

Не критическая ошибка но на олимпе вы могли бы лишиться 12 балла

  3
1 года 1 месяца назад #

Сигма спасибо что сказали.

пред. Правка 2   0
1 года 1 месяца назад #

Разве не

nN;1xR(1+x)n1+xn

Тут оно работает для x=1

Т.к.

01nn1

  0
1 года 1 месяца назад #

может я ошибаюсь но в википедии так:

Википедия

  0
1 года 1 месяца назад #

Странно, но в вики сказано, что "страница не проверялось опытными участниками".

Скорее всего, это опечатка в вики, т.к. оно явно работает для x=1(хоть и в вики никто не заявлял, что оно не работает при x=1)

  1
1 года 1 месяца назад #

ну очевидно же что работает при x=1. зачем прикопались?

  0
1 года 1 месяца назад #

И вправду, не усмотрел)

В англ версии все верно

Спасибо что указали!

  2
1 года 1 месяца назад #

Сделаем замену t=1sin(x): 23t20+20(2t)23.

Возьмём производную от t у данного многочлена: 460(t19(2t)22).

При t19=(2t)22 наш многочлен начинает менять свой ход (то есть из строго растущего в строго падающего или наоборот). По сути, t[0;2], если 0t<1 то справа будет больше, а если 2t>1, то слева будет больше, значит t=1. Получается, при этом значении наша функция f(t)=23t20+20(2t)23 меняет свой ход, так как если подставить 0,1 который входит в интервал t, можно заметить что f(0)>f(1), соответственно функция строго падала на интервале до t=1, значит после этой точки она строго росла, получается t=1 минимум, а t=2 максимум.

Подставив под t, находим что мин. и макс. значения это 43 и 20223 соответственно.

  1
1 года 1 месяца назад #

Возможно верно. Возможно нет.

  0
1 года назад #

все верно, за такое решение фулл поставили