қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Комментарий/решение:
sin x может принимать значение [-1;1] тогда:
По неравесству Бернулли
$(1 - sin x)^{20} ≥ 1 - 20 sin x, (1 + sin x)^{23 }≥ 1 + 23 sin x.$
Тогда $f(x) = 23(1 - sin x)^{20} + 20(1 + sin x)^{23} ≥ 23(1 - 20 sin x) + 20(1 + 23 sin x) = 23 - 460 sin x + 20 ÷ 460 = 43$.
Значит наименьшее достигается , при х = 0.
Неравенство Берунули верно для $x > -1$, а поскольку $\sin (x)$ может достигать значения $-1$ вам надо это разобрать отдельно
Не критическая ошибка но на олимпе вы могли бы лишиться $1-2$ балла
Разве не
$n\in \mathbb{N};-1 \leq x\in \mathbb{R} \\ (1+x)^n \geq 1+xn $
Тут оно работает для $x=-1$
Т.к.
$0\geq 1-n \Leftrightarrow n \geq 1$
Странно, но в вики сказано, что "страница не проверялось опытными участниками".
Скорее всего, это опечатка в вики, т.к. оно явно работает для $x=-1$(хоть и в вики никто не заявлял, что оно не работает при $x=-1$)
И вправду, не усмотрел)
В англ версии все верно
Спасибо что указали!
Сделаем замену $t=1-sin(x):$ $$23t^{20}+20(2-t)^{23}.$$
Возьмём производную от $t$ у данного многочлена: $$460(t^{19}-(2-t)^{22}).$$
При $t^{19}=(2-t)^{22}$ наш многочлен начинает менять свой ход (то есть из строго растущего в строго падающего или наоборот). По сути, $t \in \left [ 0;2 \right ]$, если $0\leq t<1$ то справа будет больше, а если $2\geq t>1$, то слева будет больше, значит $t=1$. Получается, при этом значении наша функция $f(t)=23t^{20}+20(2-t)^{23}$ меняет свой ход, так как если подставить $0,1$ который входит в интервал $t$, можно заметить что $f(0)>f(1)$, соответственно функция строго падала на интервале до $t=1$, значит после этой точки она строго росла, получается $t=1$ минимум, а $t=2$ максимум.
Подставив под $t$, находим что мин. и макс. значения это $43$ и $20 \cdot 2^{23}$ соответственно.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.