Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Даны простые числа $p, q$ и $r$. Известно, что число $(qr - 1)$ делится на $p$ число $(rp - 1)$ делится на $q$ а число $(pq - 1)$ делитcя на $r$. Найдите значение $pqr$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2023-12-22 16:36:42.0 #

Симметрично. Пусть $p>q>r$, равенства между простыми быть не может ибо $ab-1$ не поделится на $a$. Получим что $qr-1$ делится на $p$, пусть $$qr-1=ps.$$

Очевидно что $s \leq r-1$, давайте сделаем $p= \frac{qr-1}{s}$, тогда $qr^2-r-s$ поделится на $q$, соответственно $r+s$ делится на $q$, симметрично и $q+s$ делится на $r$. Тогда $q+r+s$ делится и на $q$ и на $r$, откуда факт что $q+r+s$ делится на $qr$. $$q+r+(r-1) \geq q+r+s \geq qr=(r-1)\cdot q + q \geq 3\cdot (r-1) +q,$$ $$\Rightarrow \ 2r-1 \geq 3r-3$$ $$\Rightarrow \ 2 \geq r$$ $$\Rightarrow r=2, q=3, p=5, pqr=30.$$

  3
2023-12-22 17:24:46.0 #

Замечаем что они попарно различны и тогда $pq+qr+pr-1$ делится на $pqr$ что невозможно если наименьшее из них хотя бы $3$ тогда пусть $p=2$

$2q+2r+qr-1$ делится на $2qr $ легко заметить что если наименьшее из них хотя бы $5$ то невозможно и потом легко выводятся все ответы

  1
2023-12-22 17:55:31.0 #

гениально и просто

  0
2023-12-25 14:58:19.0 #

Сделайте лицо семги

  0
2024-02-04 18:08:25.0 #

гений сам имел притензий,а теперь фанат

  0
2024-02-04 19:27:37.0 #

Он был неправ когда имел претензии против Кинга

  0
2024-05-05 22:17:30.0 #

А че сразу фанат то)

Просто решение короткое и красивое.