Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Даны простые числа p,q и r. Известно, что число (qr−1) делится на p число (rp−1) делится на q а число (pq−1) делитcя на r. Найдите значение pqr.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Симметрично. Пусть p>q>r, равенства между простыми быть не может ибо ab−1 не поделится на a. Получим что qr−1 делится на p, пусть qr−1=ps.
Очевидно что s≤r−1, давайте сделаем p=qr−1s, тогда qr2−r−s поделится на q, соответственно r+s делится на q, симметрично и q+s делится на r. Тогда q+r+s делится и на q и на r, откуда факт что q+r+s делится на qr. q+r+(r−1)≥q+r+s≥qr=(r−1)⋅q+q≥3⋅(r−1)+q, ⇒ 2r−1≥3r−3 ⇒ 2≥r ⇒r=2,q=3,p=5,pqr=30.
Замечаем что они попарно различны и тогда pq+qr+pr−1 делится на pqr что невозможно если наименьшее из них хотя бы 3 тогда пусть p=2
2q+2r+qr−1 делится на 2qr легко заметить что если наименьшее из них хотя бы 5 то невозможно и потом легко выводятся все ответы
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.