Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Даны простые числа p,q и r. Известно, что число (qr1) делится на p число (rp1) делится на q а число (pq1) делитcя на r. Найдите значение pqr.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 1 месяца назад #

Симметрично. Пусть p>q>r, равенства между простыми быть не может ибо ab1 не поделится на a. Получим что qr1 делится на p, пусть qr1=ps.

Очевидно что sr1, давайте сделаем p=qr1s, тогда qr2rs поделится на q, соответственно r+s делится на q, симметрично и q+s делится на r. Тогда q+r+s делится и на q и на r, откуда факт что q+r+s делится на qr. q+r+(r1)q+r+sqr=(r1)q+q3(r1)+q,  2r13r3  2r r=2,q=3,p=5,pqr=30.

  3
1 года 1 месяца назад #

Замечаем что они попарно различны и тогда pq+qr+pr1 делится на pqr что невозможно если наименьшее из них хотя бы 3 тогда пусть p=2

2q+2r+qr1 делится на 2qr легко заметить что если наименьшее из них хотя бы 5 то невозможно и потом легко выводятся все ответы

  1
1 года 1 месяца назад #

гениально и просто

  0
1 года 1 месяца назад #

Сделайте лицо семги

  0
1 года назад #

гений сам имел притензий,а теперь фанат

  0
1 года назад #

Он был неправ когда имел претензии против Кинга

  0
9 месяца 3 дней назад #

А че сразу фанат то)

Просто решение короткое и красивое.