Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Есеп №1.

$f(x) = 23(1 - \sin x)^{20} + 20(1 + \sin x)^{23}$ функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табыңыз.
комментарий/решение(12)

Есеп №2.

$p, q$ және

$r$ жәй сандары берiлген. Егер

$(qr - 1)$ саны

$p$ -ға,

$(rp - 1)$ саны

$q$ -ға, ал

$(pq - 1)$ саны

$r$ -ға бөлiнетiн болса,

$pqr$ мәнiн табыңыз.
комментарий/решение(7)

Есеп №3.

$S= \{1, 2, \ldots, 2024\}$ жиыны берiлген. Компьютер кездейсоқ жолмен

$2023^2+1$ болатындай

$S$ жиынының кемiнде 2 элемент болатындай бос емес iшкi жиындарын құрастырды. Компьютердiң құрған жиынтықтарының iшiнен элементтерiнiң саны бiрдей және кемiнде екi ортақ элементi бар екi iшкi жиынды табуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABCD$ дөнес төртбұрышында,

$ABC$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесi болатын

$G$ нүктесi таңдалған, және

$G \in [BD]$ ,

$\angle DCG = \angle BAC$ болып шықты.

$D$ нүктесiнен

$CG$ кесiндiсiне

$DE$ перпендикулярi түсiрiлген. Онда

$\frac{CG}{DE} \ge \frac{2\sqrt 3}{3}$ екенiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(4)