қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы
Есеп №1. $f(x) = 23(1 - \sin x)^{20} + 20(1 + \sin x)^{23}$ функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табыңыз.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Есеп №2. $p, q$ және $r$ жәй сандары берiлген. Егер $(qr - 1)$ саны $p$-ға, $(rp - 1)$ саны $q$-ға, ал $(pq - 1)$ саны $r$-ға бөлiнетiн болса, $pqr$ мәнiн табыңыз.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №3. $S= \{1, 2, \ldots, 2024\}$ жиыны берiлген. Компьютер кездейсоқ жолмен $2023^2+1$ болатындай $S$ жиынының кемiнде 2 элемент болатындай бос емес iшкi жиындарын құрастырды. Компьютердiң құрған жиынтықтарының iшiнен элементтерiнiң саны бiрдей және кемiнде екi ортақ элементi бар екi iшкi жиынды табуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $ABCD$ дөнес төртбұрышында, $ABC$ үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесi болатын $G$ нүктесi таңдалған, және $G \in [BD]$, $\angle DCG = \angle BAC$ болып шықты. $D$ нүктесiнен $CG$ кесiндiсiне $DE$ перпендикулярi түсiрiлген. Онда $\frac{CG}{DE} \ge \frac{2\sqrt 3}{3}$ екенiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)