Processing math: 100%

Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы


Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка G — точка пересечения медиан треугольника ABC. Оказалось, что G[BD], DCG=BAC. Из точки D опустили перпендикуляр DE на отрезок CG. Докажите, что CGDE233.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
1 года 1 месяца назад #

В официальном решении вычисляли CGDE=ctgBAC+ctgDGC, но это слишком straightforward, давайте прикольнёмся.

Мотивация. Мне захотелось сделать подобием

Решение. 1) Положим M=BGAC, BC=a,AC=b,AB=c и BH=h высота ABC. Пусть E на MC такова, что BEMCGM, то естьME=MGMBMC=2MB23b=2a2+2c2b26bAE=AM+ME=b2+2a2+2c2b26b=a2+b2+c23bВ первой строке была использована формула медианы

2) Также из подобия BEM=CGMABECDG по двум углам. Из соотношения соответственных элементов в этих треугольниках, имеемCGDE=AEBH=a2+b2+c23bh=a2+b2+c26SABC3) Таким образом, достаточно доказать, что a2+b2+c243SABC. Это уже классическая задача с IMO 1961. Для решения воспользуемся стандартной заменой для доказательства неравенств со сторонами треугольника x=b+ca2,y=a+cb2,z=a+bc2 - несложно видеть, что эти числа положительны. Тогда, используя формулу Герона, требуемое неравенство переписывается в виде (y+z)2+(x+z)2+(x+y)243xyz(x+y+z). Используем AMQM и AMGM(y+z)2+(x+z)2+(x+y)243(x+y+z)2=43(x+y+z)32x+y+z43xyz(x+y+z)что требовалось доказать

  0
1 года 1 месяца назад #

Здравствуйте, вы решили эту задачу на самой олимпе?

  0
1 года 1 месяца назад #

найс решение ааххахах

  0
1 года 1 месяца назад #

Сильная мотивация