Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$\left[ u \right]$ деп

$u$ санының бүтін бөлігін белгілейік, яғни

$u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.

$a$ және

$b$ натурал сандары

$\left[ \sqrt{a} \right]\left[ \sqrt{b} \right]=\left[ \sqrt{ab} \right]$ өрнегін қанағаттандырады. Екі санның кемінде біреуі толық квадрат екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышы

$\angle B=2\angle C$ және

$\angle A > {{90}^{{}^\circ }}$ шарттарын қанағаттындырады.

$BC$ қабырғасының ортасын

$M$ деп белгілейік.

$C$ нүктесінен өтетін

$AC$ қабырғасына перпендикуляр түзу

$AB$ қабырғасын

$D$ нүктесінде қияды.

$\angle AMB=\angle DMC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)

Есеп №3. Оқушыда сан жазылған 600 карточка бар. 200 карточкада 1 саны жазылған, басқа 200 карточкада 2 саны жазылған, қалған 200 карточкада 5 саны жазылған. Оқушы әр топтағы карточкалардағы сандардың қосындысы 9-ға тең болатындай етіп карточкаларды топтастыруы тиіс. Кейбір карточкалар қолданылмауы мүмкін. Оқушы ең көп дегенде қанша карточкалар топтарын ала алады?
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышындағы

$\angle CAB$ ,

$\angle ABC$ ,

$\angle BCA$ бұрыштарының мәндерін (радианда), сәйкесінше,

$A$ ,

$B$ ,

$C$ деп белгілейік, ал

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ қабырғаларының ұзындықтарын, сәйкесінше,

$a$ ,

$b$ ,

$c$ деп белгілейік. Егер

$b\left( a+b \right)\left( b+c \right)={{a}^{3}}+b\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{c}^{3}}$ болса, онда

$\dfrac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\dfrac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\dfrac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №6.

$m$ және

$n$ натурал сандары келесі шартты қанағаттандырады:

$m$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымының оң жағына

$n$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымын жалғасақ,

${{\left( m+n \right)}^{2}}$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымы шығады. Егер

$n$ саны

$m$ санына бөлінетіні белгілі болса, онда

$\dfrac{n}{m}=6$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)