1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Республикалық олимпиада
  4. Облыстық кезең
  5. 2013-2014 оқу жылы
  6. 11 сынып

Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $\left[ u \right]$ деп $u$ санының бүтін бөлігін белгілейік, яғни $u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. $a$ және $b$ натурал сандары $\left[ \sqrt{a} \right]\left[ \sqrt{b} \right]=\left[ \sqrt{ab} \right]$ өрнегін қанағаттандырады. Екі санның кемінде біреуі толық квадрат екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы $\angle B=2\angle C$ және $\angle A > {{90}^{{}^\circ }}$ шарттарын қанағаттындырады. $BC$ қабырғасының ортасын $M$ деп белгілейік. $C$ нүктесінен өтетін $AC$ қабырғасына перпендикуляр түзу $AB$ қабырғасын $D$ нүктесінде қияды. $\angle AMB=\angle DMC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(7)
Есеп №3. Оқушыда сан жазылған 600 карточка бар. 200 карточкада 1 саны жазылған, басқа 200 карточкада 2 саны жазылған, қалған 200 карточкада 5 саны жазылған. Оқушы әр топтағы карточкалардағы сандардың қосындысы 9-ға тең болатындай етіп карточкаларды топтастыруы тиіс. Кейбір карточкалар қолданылмауы мүмкін. Оқушы ең көп дегенде қанша карточкалар топтарын ала алады?
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №5.  $ABC$ үшбұрышындағы $\angle CAB$, $\angle ABC$, $\angle BCA$ бұрыштарының мәндерін (радианда), сәйкесінше, $A$, $B$, $C$ деп белгілейік, ал $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларының ұзындықтарын, сәйкесінше, $a$, $b$, $c$ деп белгілейік. Егер $$b\left( a+b \right)\left( b+c \right)={{a}^{3}}+b\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{c}^{3}}$$ болса, онда $\dfrac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\dfrac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\dfrac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)
Есеп №6.  $m$ және $n$ натурал сандары келесі шартты қанағаттандырады: $m$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымының оң жағына $n$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымын жалғасақ, ${{\left( m+n \right)}^{2}}$ санының ондық санау жүйесіндегі жазылымы шығады. Егер $n$ саны $m$ санына бөлінетіні белгілі болса, онда $\dfrac{n}{m}=6$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)