Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что если к десятичной записи числа $m$ приписать справа десятичную запись числа $n$, то получится десятичная запись числа ${{\left( m+n \right)}^{2}}$. Докажите, что если $n$ делится на $m$, то $\dfrac{n}{m}=6$.

Комментарий/решение

Пусть $10^{k} \geq n = tm < 10^{k+1}$ тогда

$$\overline{mn} = 10^{k+1}m+tm = (tm+t)^2 = m^2(t^2+2t+1)$$

или $$10^{k+1}+t = m(t+1)^2= t^2m+2tm+m \qquad \qquad (1)$$

Заметим, что $10tm \geq 10^{k+1}$и значит

$$t^2m+2tm+m = 10^{k+1}+t \leq 10tm+t$$

или

$$\frac{t}{t^2-8t+1} \geq m \geq 1$$

Откуда $9t \geq t^2+1$, $\boxed{t \geq 8}$

Если $t$ нечетное ( $t=2l+1$) то из $(1)$ следует противоречие из четности. Для $t=2$, по $mod$ 3, а для $t=8$, $t=4$ по $mod$ 5 находятся противоречия.

Значит, остается только один вариант $$\frac {n}{m}=t=6.$$