қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $[u]$ — целая часть вещественного числа $u$,
то есть наибольшее целое, не превосходящее $u$. Натуральные числа $a$ и $b$
удовлетворяют уравнению
$[ \sqrt{\mathstrut a} \ ]\cdot [ \sqrt{ \mathstrut b} \ ]=[ \sqrt{ \mathstrut ab} \ ]$. Докажите, что по крайней мере одно из этих двух чисел — полный квадрат.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В треугольнике $ABC$ выполнены соотношения $\angle B=2\angle C$ и $\angle A>90^\circ$.
Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Прямая, проходящая через точку $C$ перпендикулярно
$AC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что $\angle AMB=\angle DMC$.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №3. У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами. На 200 карточках записано число 1, на других 200 карточках записано число 2 и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5. Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9. При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы. Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В треугольнике $ABC$ через $A$, $B$, $C$ обозначены величины (в радианах) углов
$CAB$, $ABC$, $BCA$, соответственно, а через $a$, $b$, $c$ — длины сторон
$BC$, $CA$, $AB$, соответственно. Докажите, что если
$$
b\left( a+b \right)\left( b+c \right)={{a}^{3}}+b\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{c}^{3}},
$$
то
$$
\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}.
$$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что если к десятичной записи числа $m$ приписать справа десятичную запись числа $n$, то получится десятичная запись числа ${{\left( m+n \right)}^{2}}$. Докажите, что если $n$ делится на $m$, то $\dfrac{n}{m}=6$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)