Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$[u]$ — целая часть вещественного числа

$u$ , то есть наибольшее целое, не превосходящее

$u$ . Натуральные числа

$a$ и

$b$ удовлетворяют уравнению

$[ \sqrt{\mathstrut a} \ ]\cdot [ \sqrt{ \mathstrut b} \ ]=[ \sqrt{ \mathstrut ab} \ ]$ . Докажите, что по крайней мере одно из этих двух чисел — полный квадрат.
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ выполнены соотношения

$\angle B=2\angle C$ и

$\angle A>90^\circ$ . Пусть

$M$ — середина стороны

$BC$ . Прямая, проходящая через точку

$C$ перпендикулярно

$AC$ , пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Докажите, что

$\angle AMB=\angle DMC$ .
комментарий/решение(7)

Задача №3. У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами. На 200 карточках записано число 1, на других 200 карточках записано число 2 и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5. Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9. При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы. Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?
комментарий/решение(2)

Задача №4. Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
комментарий/решение(1)

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ через

$A$ ,

$B$ ,

$C$ обозначены величины (в радианах) углов

$CAB$ ,

$ABC$ ,

$BCA$ , соответственно, а через

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — длины сторон

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ , соответственно. Докажите, что если

$b\left( a+b \right)\left( b+c \right)={{a}^{3}}+b\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{c}^{3}},$ то

$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Натуральные числа

$m$ и

$n$ таковы, что если к десятичной записи числа

$m$ приписать справа десятичную запись числа

$n$ , то получится десятичная запись числа

${{\left( m+n \right)}^{2}}$ . Докажите, что если

$n$ делится на

$m$ , то

$\dfrac{n}{m}=6$ .
комментарий/решение(1)