Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?

Комментарий/решение

Ответ:нельзя

Решение : Так как по условию используется все цвета, то в искомом ряду будет хотя бы один раз использован любой из цветов. В искомом ряду обязательно найдется два рядом стоящих цвета. Таким образом, можно определить цвет единицы(он отличается от двух рядом стоящих чисел, имеющих разный цвет). Раз так, то можно в общем вмде показать участок ряда. Не нарушая общности, положим $n$ -красный, $n-1$-синий, тогда единица желтая. Но цвета в данном ряду идут чередуясь, поэтому единица получится не желтой. Получили противоречие, значит так покрасить натуральный ряд нельзя.