Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?

Комментарий/решение

Ответ:нельзя

Решение : Так как по условию используется все цвета, то в искомом ряду будет хотя бы один раз использован любой из цветов. В искомом ряду обязательно найдется два рядом стоящих цвета. Таким образом, можно определить цвет единицы(он отличается от двух рядом стоящих чисел, имеющих разный цвет). Раз так, то можно в общем вмде показать участок ряда. Не нарушая общности, положим $n$ -красный, $n-1$-синий, тогда единица желтая. Но цвета в данном ряду идут чередуясь, поэтому единица получится не желтой. Получили противоречие, значит так покрасить натуральный ряд нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

Пусть 1 и 2 раскрашены в разные цвета, пусть x и y соответственно, тогда 3 разукрашено в цвет z, 4 разукрашено в цвет y, но тогда 5=2+3=4+1, то есть оно должно быть окрашено в цвет x, но с другой стороны оно обязано быть цвета y, противоречие.

Тогда 1 и 2 разукрашены в один цвет, пусть x. Тогда рассмотрим число n которое окрашено в отличный от 1 и 2 цвет, пусть y, и число n-1, которое будет окрашено в цвет x, такое очевидно возможно, тк у нас есть все цвета и достаточно взять первое число не покрашенное в цвет x. Тогда рассмотрим окраску числа n+1-z , n+2 = (n+1) + 1 = n + 2 с одной стороны n+2 окрашен в z но с другой стороны в y, противоречие. ЧТД