Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Үш түсті міндетті түрде қолданып және кез-келген екі әртүрлі түсті санның қосындысы үшінші түсті (қосылатын сандардың түсінен өзге) болатындай барлық натурал сандарды үш түске (көк, сары және қызыл) бояуға бола ма?

Комментарий/решение

Ответ:нельзя

Решение : Так как по условию используется все цвета, то в искомом ряду будет хотя бы один раз использован любой из цветов. В искомом ряду обязательно найдется два рядом стоящих цвета. Таким образом, можно определить цвет единицы(он отличается от двух рядом стоящих чисел, имеющих разный цвет). Раз так, то можно в общем вмде показать участок ряда. Не нарушая общности, положим $n$ -красный, $n-1$-синий, тогда единица желтая. Но цвета в данном ряду идут чередуясь, поэтому единица получится не желтой. Получили противоречие, значит так покрасить натуральный ряд нельзя.