Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Пусть $[u]$ — целая часть вещественного числа $u$, то есть наибольшее целое, не превосходящее $u$. Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют уравнению $[ \sqrt{\mathstrut a} \ ]\cdot [ \sqrt{ \mathstrut b} \ ]=[ \sqrt{ \mathstrut ab} \ ]$. Докажите, что по крайней мере одно из этих двух чисел — полный квадрат.

Комментарий/решение

Покажем,что если одно из чисел - полный квадрат, то условие выполнимо. $b=c^2;c\in N$; тогда ясно, что $[\sqrt a]\cdot {[\sqrt b]}=c\cdot {[\sqrt a]}$; в то же время $[\sqrt {ab}]=[c\sqrt a]=c [\sqrt a]$. Покажем, что если оба числа не являются полными квадратами, то условие не выполнимо. Пусть $a=c^2+m;b=d^2+n;m,n\in N$. Тогда $[\sqrt {c^2+m}][\sqrt {d^2+n}]=cd$ . Распишем правую часть. $$[\sqrt {(c^2+m)(d^2+n)}]>[\sqrt {(c^2+1)(d^2+1)}]=[\sqrt {(cd)^2+c^2+d^2+1}]>[\sqrt {(cd+1)^2}]=cd+1$$ . Откуда ясно,что правая часть в таком случае больше левой, потому равенства не может быть, если оба числа не являются полными квадратами.