Математикадан облыстық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

$\left[ u \right]$ деп $u$ санының бүтін бөлігін белгілейік, яғни $u$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. $a$ және $b$ натурал сандары $\left[ \sqrt{a} \right]\left[ \sqrt{b} \right]=\left[ \sqrt{ab} \right]$ өрнегін қанағаттандырады. Екі санның кемінде біреуі толық квадрат екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Покажем,что если одно из чисел - полный квадрат, то условие выполнимо. $b=c^2;c\in N$; тогда ясно, что $[\sqrt a]\cdot {[\sqrt b]}=c\cdot {[\sqrt a]}$; в то же время $[\sqrt {ab}]=[c\sqrt a]=c [\sqrt a]$. Покажем, что если оба числа не являются полными квадратами, то условие не выполнимо. Пусть $a=c^2+m;b=d^2+n;m,n\in N$. Тогда $[\sqrt {c^2+m}][\sqrt {d^2+n}]=cd$ . Распишем правую часть. $$[\sqrt {(c^2+m)(d^2+n)}]>[\sqrt {(c^2+1)(d^2+1)}]=[\sqrt {(cd)^2+c^2+d^2+1}]>[\sqrt {(cd+1)^2}]=cd+1$$ . Откуда ясно,что правая часть в таком случае больше левой, потому равенства не может быть, если оба числа не являются полными квадратами.