Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Из условия
$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} + \frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}} = \frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}\\ (\sqrt{A}+\sqrt{C})(\sqrt{B}+\sqrt{C}+\sqrt{A}+\sqrt{B})=2(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C}) \\ A+C=2B$
из того что сумма углов треугольнике
$A+B+C=180\\ A+C=180-B=2B\\ B=60$ ,
а из условия
$b(a+b)(b+c)=a^3+b(a^2+c^2)+c^3\\ (a+b+c)(a^2+c^2-ac-b^2)=0\\ a+b+c>0\\ a^2+c^2=b^2+ac$
преобразовав используя теорему синусов
$sin^2b+(sinc*sina)=sin^2c+sin^2a\\ sin^2(\frac{\pi}{3})+sin(\frac{2\pi}{3}-a)*sina = sin^2( 2\frac{\pi}{3}-a) + sin^2a$ ,
данное тождество верно ,значит условие выполнено.
Из условия
$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} + \frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}} = \frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}\\ (\sqrt{A}+\sqrt{C})(\sqrt{B}+\sqrt{C}+\sqrt{A}+\sqrt{B})=2(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C}) \\ A+C=2B$ ,
из того что сумма углов треугольнике
$A+B+C=180\\ A+C=180-B=2B\\ B=60$
а из условия
$b(a+b)(b+c)=a^3+b(a^2+c^2)+c^3\\ (a+b+c)(a^2+c^2-ac-b^2)=0\\ a+b+c>0\\ a^2+c^2=b^2+ac$
Преобразовав используя теорему синусов
$sin^2b+(sinc*sina)=sin^2c+sin^2a$
$sin^2(\frac{\pi}{3})+sin(\frac{2\pi}{3}-a)*sina = sin^2( 2\frac{\pi}{3}-a) + sin^2a$
данное тождество верно ,значит условие выполнено
Так же можно использовать теорему косинусов, где
$$ b^2 = a^2 +c^2 - ac = a^2+b^2 - 2 \cdot cos(60^{\circ}) \cdot ac $$
Значит, $B=60$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.