Областная олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ через $A$, $B$, $C$ обозначены величины (в радианах) углов $CAB$, $ABC$, $BCA$, соответственно, а через $a$, $b$, $c$ — длины сторон $BC$, $CA$, $AB$, соответственно. Докажите, что если $$b\left( a+b \right)\left( b+c \right)={{a}^{3}}+b\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+{{c}^{3}},$$ то $$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}=\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}.$$

Комментарий/решение

Из условия

$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} + \frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}} = \frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}\\ (\sqrt{A}+\sqrt{C})(\sqrt{B}+\sqrt{C}+\sqrt{A}+\sqrt{B})=2(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C}) \\ A+C=2B$

из того что сумма углов треугольнике

$A+B+C=180\\ A+C=180-B=2B\\ B=60$ ,

а из условия

$b(a+b)(b+c)=a^3+b(a^2+c^2)+c^3\\ (a+b+c)(a^2+c^2-ac-b^2)=0\\ a+b+c>0\\ a^2+c^2=b^2+ac$

преобразовав используя теорему синусов

$sin^2b+(sinc*sina)=sin^2c+sin^2a\\ sin^2(\frac{\pi}{3})+sin(\frac{2\pi}{3}-a)*sina = sin^2( 2\frac{\pi}{3}-a) + sin^2a$ ,

данное тождество верно ,значит условие выполнено.

Из условия

$\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} + \frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}} = \frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}\\ (\sqrt{A}+\sqrt{C})(\sqrt{B}+\sqrt{C}+\sqrt{A}+\sqrt{B})=2(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C}) \\ A+C=2B$ ,

из того что сумма углов треугольнике

$A+B+C=180\\ A+C=180-B=2B\\ B=60$

а из условия

$b(a+b)(b+c)=a^3+b(a^2+c^2)+c^3\\ (a+b+c)(a^2+c^2-ac-b^2)=0\\ a+b+c>0\\ a^2+c^2=b^2+ac$

Преобразовав используя теорему синусов

$sin^2b+(sinc*sina)=sin^2c+sin^2a$

$sin^2(\frac{\pi}{3})+sin(\frac{2\pi}{3}-a)*sina = sin^2( 2\frac{\pi}{3}-a) + sin^2a$

данное тождество верно ,значит условие выполнено

Так же можно использовать теорему косинусов, где

$$b^2 = a^2 +c^2 - ac = a^2+b^2 - 2 \cdot cos(60^{\circ}) \cdot ac$$

Значит, $B=60$.