Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2020 год

Задача №1. Для чисел

$a,$

$b,$

$c$ выполняются равенства

$(a+b)(a+b+c)=5,$

$(b+c)(b+c+a)=6$ и

$(c+a)(c+a+b)=7.$ Вычислите значение выражения

${(a+b+c)}^3.$
комментарий/решение(3)

Задача №2. На рисунке ниже даны 5 фигур, пронумерованные от 1 до 5. Известно, что используя ровно четыре фигуры из пяти, сложили квадрат. Напишите номер фигуры, которая не использовалась.

комментарий/решение

Задача №3. Здание разделено на 9 прямоугольных комнат. Измерили периметры шести комнат. Пять из шести результатов измерений показаны на рисунке снизу, а результат шестого обозначен буквой

$x$ . Чему равен

$x?$

комментарий/решение

Задача №4. В коробке лежат шары, их меньше 100. Среди них есть зеленые и красные. Количество зелёных составляет

$12\%$ , а количество красных —

$18\%$ от общего количества шаров. Сколько всего шаров лежат в коробке?
комментарий/решение

Задача №5. Два равносторонних треугольника с периметрами 17 и 19, расположены так, что их стороны соответственно параллельны. Найдите периметр образовавшегося шестиугольника.

комментарий/решение

Задача №6. Пусть

$S=\frac{1}{{x(x + 1)}}+ \frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}}+ \ldots + \frac{1}{{(x + 4)(x + 5)}}.$ Найдите

$[S]$ при

$x=\frac{2}{11}$ . Здесь

$[t]$ означает целую часть числа

$[t]$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее

$t$ . Например,

$[3,85]=3$ .
комментарий/решение

Задача №7. Найдите количество натуральных

$n$ таких, что

$1 \le n \le 100$ и дробь

$\frac{3n^2-26n+35}{4n-28}$ является целым числом.
комментарий/решение

Задача №8. Пусть

$a, b, c$ и

$d$ такие натуральные числа, что

$\text{НОД}(a, b)=24$ ,

$\text{НОД}(b, c)=36$ ,

$\text{НОД}(c, d)=54$ ,

$70 < \text{НОД}(d, a) < 100$ . Найдите наибольший простой делитель числа

$a.$
комментарий/решение

Задача №9. На рисунке ниже известно, что

$CD$ параллелен

$BE$ . Скольким градусам равен

$a$ ?

комментарий/решение

Задача №10. В треугольнике

$ABC$ , где

$AB = AC$ , биссектриса

$AM$ в два раза короче биссектрисы

$BD.$ Скольким градусам равен угол

$ABC$ ?
комментарий/решение