6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Задача №1. На координатной плоскости на графике гиперболы

$y_1=\frac{2}{x}$ выбрана точка

$A$ , а на графике гиперболы

$y_2=\frac{1}{x}$ выбраны точки

$B$ и

$C$ так, что прямая

$AB$ параллельна оси абсцисс, а прямая

$AC$ параллельна оси ординат. Найдите площадь треугольника

$ABC$ . (Точки

$A,B,C$ выбираются на первой четверти координатной плоскости.)
комментарий/решение(1)

Задача №2. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ выполнены:

$AC=AB$ ,

$\angle BCD=90^\circ$ ,

$\angle DAC=\angle DBA$ . Найдите отношение

$BD/AD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все натуральные пары чисел

$(a,b)$ таких, что

$a^2+b$ делится на

$b^2-a$ и

$b^2+a$ делится на

$a^2-b$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Число

$n$ назовём красивым, если найдутся

$n$ целых чисел и произведение которых, и сумма которых равна

$n$ .
а) Докажите, что любое натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 4, является красивым.
б) Докажите, что любое натуральное число, не меньшее 8 и кратное 4, является красивым.
комментарий/решение(1)

Задача №5. В ряд выписано 40 различных чисел. Каждое из этих чисел больше 0 но меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше, чем сумма чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду найдется число, которое меньше каждого из двух своих соседей.
комментарий/решение(1)