6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

В ряд выписано 40 различных чисел. Каждое из этих чисел больше 0 но меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше, чем сумма чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду найдется число, которое меньше каждого из двух своих соседей.

Комментарий/решение

Допустим такого не будет. То самое наибольшее число в данной последовательности больше двух своих соседей. Пусть $a_i$ - максимальное число, то существует сосед ,либо $a_{i-1}$, либо $a_{i+1}$. Если существует один из этих соседей, то существуют ,либо $a_{i-2}$, либо $a_{i+2}$. Где $a_{i-1}>a_{i-2} , a_{i+1}<a_{i+2}$. Рассуждая из противного получаются 2 монотонные цепочки. Не трудно догадаться, что максимальное число стоит на четном месте. И после верно неравенство $S_{2i+1}>S_{2i}+a_1-a_i => a_i > 1+a_1>1$, но $a_i<1$. Противоречие .