6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Қатарға 40 әртүрлі сан жазылған. Бұл сандардың әрбірі 0-ден үлкен, бірақ 1-ден кіші. Жұп нөмірлі орында тұрған сандардың қосындысы, тақ нөмірлі орында тұрған сандардың қосындысынан 1-ге үлкен. Қатарда екі көршісінің әрбірінен кіші болатын сан табылатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Допустим такого не будет. То самое наибольшее число в данной последовательности больше двух своих соседей. Пусть $a_i$ - максимальное число, то существует сосед ,либо $a_{i-1}$, либо $a_{i+1}$. Если существует один из этих соседей, то существуют ,либо $a_{i-2}$, либо $a_{i+2}$. Где $a_{i-1}>a_{i-2} , a_{i+1}<a_{i+2}$. Рассуждая из противного получаются 2 монотонные цепочки. Не трудно догадаться, что максимальное число стоит на четном месте. И после верно неравенство $S_{2i+1}>S_{2i}+a_1-a_i => a_i > 1+a_1>1$, но $a_i<1$. Противоречие .