қазақша
русский6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
Задача №1. На координатной плоскости на графике гиперболы $y_1=\frac{2}{x}$ выбрана точка $A$, а на графике гиперболы $y_2=\frac{1}{x}$ выбраны точки $B$ и $C$ так, что прямая $AB$ параллельна оси абсцисс, а прямая $AC$ параллельна оси ординат. Найдите площадь треугольника $ABC$. (Точки $A,B,C$ выбираются на первой четверти координатной плоскости.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены: $AC=AB$, $\angle BCD=90^\circ$, $\angle DAC=\angle DBA$. Найдите отношение $BD/AD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все натуральные пары чисел $(a,b)$ таких, что $a^2+b$ делится на $b^2-a$ и $b^2+a$ делится на $a^2-b$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Число $n$ назовём красивым, если найдутся $n$ целых чисел и произведение которых, и сумма которых равна $n$.
а) Докажите, что любое натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 4, является красивым.
б) Докажите, что любое натуральное число, не меньшее 8 и кратное 4, является красивым.
комментарий/решение(1)
а) Докажите, что любое натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 4, является красивым.
б) Докажите, что любое натуральное число, не меньшее 8 и кратное 4, является красивым.
комментарий/решение(1)
Задача №5. В ряд выписано 40 различных чисел. Каждое из этих чисел больше 0 но меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше, чем сумма чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду найдется число, которое меньше каждого из двух своих соседей.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)