6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Число $n$ назовём красивым, если найдутся $n$ целых чисел и произведение которых, и сумма которых равна $n$.
   а) Докажите, что любое натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 4, является красивым.
   б) Докажите, что любое натуральное число, не меньшее 8 и кратное 4, является красивым.

Комментарий/решение

$a$)Натуральное число,дающее остаток 1 при деление на 4 можно записать в виде $4k+1$.Это и есть наше $n$.Тогда делители которые нам нужны:

$$4k+1,\underbrace{-1,-1,-1,...,-1}_{\text{$2k$ }},\underbrace{1,1,1,...,1}_{\text{$2k$ }} $$

Здесь $2k+2k+1=4k+1$ чисел.Произведение всех $-1$ и $1$ дает еденицу.(Поскольку количество минус едениц четно). Значит произведение равно $4k+1$.Количество чисел $-1$ и $1$ равны,значит они сокротяться,и останется только $4k+1$.Все требуемые условия соблюдены,значит доказано.