6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Число $n$ назовём красивым, если найдутся $n$ целых чисел и произведение которых, и сумма которых равна $n$.
   а) Докажите, что любое натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 4, является красивым.
   б) Докажите, что любое натуральное число, не меньшее 8 и кратное 4, является красивым.

Комментарий/решение

$a$)Натуральное число,дающее остаток 1 при деление на 4 можно записать в виде $4k+1$.Это и есть наше $n$.Тогда делители которые нам нужны:

$$4k+1,\underbrace{-1,-1,-1,...,-1}_{\text{$2k$ }},\underbrace{1,1,1,...,1}_{\text{$2k$ }} $$

Здесь $2k+2k+1=4k+1$ чисел.Произведение всех $-1$ и $1$ дает еденицу.(Поскольку количество минус едениц четно). Значит произведение равно $4k+1$.Количество чисел $-1$ и $1$ равны,значит они сокротяться,и останется только $4k+1$.Все требуемые условия соблюдены,значит доказано.

в пункте б) k,k,k,k,1,1,1,1.....,1,-1,-1,-1,-1...-1 здесь единиц 2*k штук и столько же -1 ниц

Стоп. Всего чисел получается $4k+4$, соответственно, сумма чисел равна $4k$, а произведение --- $k^4$, что-то не сходится.

п б) Если $n=8m$ , то искомое разбиение

$$4m,2, \underbrace{1,\dots, 1}_{6m-2\text{ раза}},\underbrace{-1, \dots, -1}_{2m \text{ раз}}.$$

Если $n=8m+4$, то разбиение примет вид

$$4m+2, -2, \underbrace{1,\dots, 1}_{6m+3 \text{ раза}},\underbrace{-1, \dots, -1}_{2m-1 \text{ раз}}$$