6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
Егер қосындылары да, көбейтінділері де n-ге тең болатын n бүтін сан табылса, n санын әдемі деп атаймыз.
а) 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
б) 8-ден кем емес және 4-ке бөлінетін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
а) 4-ке бөлгенде 1 қалдық беретін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
б) 8-ден кем емес және 4-ке бөлінетін кез келген натурал сан әдемі екенін дәлелдеңдер.
Комментарий/решение:
a)Натуральное число,дающее остаток 1 при деление на 4 можно записать в виде 4k+1.Это и есть наше n.Тогда делители которые нам нужны:
4k+1,−1,−1,−1,...,−1⏟2k ,1,1,1,...,1⏟2k
Здесь 2k+2k+1=4k+1 чисел.Произведение всех −1 и 1 дает еденицу.(Поскольку количество минус едениц четно). Значит произведение равно 4k+1.Количество чисел −1 и 1 равны,значит они сокротяться,и останется только 4k+1.Все требуемые условия соблюдены,значит доказано.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.