6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Найдите все натуральные пары чисел $(a,b)$ таких, что $a^2+b$ делится на $b^2-a$ и $b^2+a$ делится на $a^2-b$.

Комментарий/решение

Б.О.О. $b \geq a$ ,$b=a+k$.

$a²+b \geq b²-a$

$a²+a+k \geq a²+2ak+k²-a$

$2ak \geq 2k$ $\leftrightarrow$ $k \geq k²$ $k=0;1$

1)$a=b$

$a²+a:a²-a \in N$

$2a:a²-a \in N$

$2:a-1 \in N$

$a=b=2;3$

2)$b=a+1$

$a²+3a+1:a²-a-1 \in Z$

$4a+2:a²-a-1 \in Z$

$4a+2 \geq a²-a-1$

$3 \geq a²-5a$

$a=1;2;3;4;5$

$a≠3;4;5$

$a=1;2$

$Answers:(2,2);(3,3);(2,3);(3,2);(2,1);(1;2)$.

Атмо 2002