6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур
$a^2+b$ саны $b^2-a$ санына және $b^2+a$ саны $a^2-b$ санына бөлінетіндей барлық $(a,b)$ натурал сандар жұптарын табыңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Б.О.О. $b \geq a$ ,$b=a+k$.
$a²+b \geq b²-a$
$a²+a+k \geq a²+2ak+k²-a$
$2ak \geq 2k$ $\leftrightarrow$ $k \geq k²$ $k=0;1$
1)$a=b$
$a²+a:a²-a \in N$
$2a:a²-a \in N$
$2:a-1 \in N$
$a=b=2;3$
2)$b=a+1$
$a²+3a+1:a²-a-1 \in Z$
$4a+2:a²-a-1 \in Z$
$4a+2 \geq a²-a-1$
$3 \geq a²-5a$
$a=1;2;3;4;5$
$a≠3;4;5$
$a=1;2$
$Answers:(2,2);(3,3);(2,3);(3,2);(2,1);(1;2)$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.